Theorem projlem8 5200

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. The set S is a non-empty set of reals with an upper bound. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. Used by projlem9 5201 projlem12 5204 projlem13 5205 projlem15 5207. Note we use 'supremum'; its negative is the infimum.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem8.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem8.2	⊢ H ∈ Cℋ
projlem8.3	⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}

Assertion

Ref	Expression
projlem8	⊢ (S ⊆ ℝ ∧ ¬ S = ∅ ∧ ∃z ∈ ℝ ∀w ∈ S w ≤ z)

Distinct variable group(s):   v,u,z,w,A   u,H,v,z,w   w,S,z

Proof of Theorem projlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem8.3	. . 3 ⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
2		ssrab 1556	. . 3 ⊢ {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstr 1530	. 2 ⊢ S ⊆ ℝ
4		ax-hvzercl 4987	. . . . . . . . 9 ⊢ 0v ∈ ℋ
5		projlem8.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℋ
6	4, 5	hvsubcl 5002	. . . . . . . 8 ⊢ (0v −v A) ∈ ℋ
7	6	normcl 5081	. . . . . . 7 ⊢ (norm ‘(0v −v A)) ∈ ℝ
8	7	renegcl 4171	. . . . . 6 ⊢ -(norm ‘(0v −v A)) ∈ ℝ
9		projlem8.2	. . . . . . . 8 ⊢ H ∈ Cℋ
10		ch0 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (H ∈ Cℋ → 0v ∈ H)
11	9, 10	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ 0v ∈ H
12		cleqid 1102	. . . . . . 7 ⊢ -(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(0v −v A))
13		opreq1 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = 0v → (v −v A) = (0v −v A))
14	13	fveq2d 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = 0v → (norm ‘(v −v A)) = (norm ‘(0v −v A)))
15	14	negeqd 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = 0v → -(norm ‘(v −v A)) = -(norm ‘(0v −v A)))
16	15	cleq2d 1112	. . . . . . . 8 ⊢ (v = 0v → (-(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(v −v A)) ↔ -(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(0v −v A))))
17	16	rcla4ev 1403	. . . . . . 7 ⊢ ((0v ∈ H ∧ -(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(0v −v A))) → ∃v ∈ H -(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(v −v A)))
18	11, 12, 17	mp2an 520	. . . . . 6 ⊢ ∃v ∈ H -(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(v −v A))
19	8, 18	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ (-(norm ‘(0v −v A)) ∈ ℝ ∧ ∃v ∈ H -(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(v −v A)))
20		cleq1 1107	. . . . . . 7 ⊢ (u = -(norm ‘(0v −v A)) → (u = -(norm ‘(v −v A)) ↔ -(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(v −v A))))
21	20	birexdv 1220	. . . . . 6 ⊢ (u = -(norm ‘(0v −v A)) → (∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A)) ↔ ∃v ∈ H -(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(v −v A))))
22	21	elrab 1422	. . . . 5 ⊢ (-(norm ‘(0v −v A)) ∈ {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))} ↔ (-(norm ‘(0v −v A)) ∈ ℝ ∧ ∃v ∈ H -(norm ‘(0v −v A)) = -(norm ‘(v −v A))))
23	19, 22	mpbir 165	. . . 4 ⊢ -(norm ‘(0v −v A)) ∈ {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
24	23, 1	eleqtrr 1162	. . 3 ⊢ -(norm ‘(0v −v A)) ∈ S
25		n0i 1712	. . 3 ⊢ (-(norm ‘(0v −v A)) ∈ S → ¬ S = ∅)
26	24, 25	ax-mp 6	. 2 ⊢ ¬ S = ∅
27		ax0re 4063	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
28	1	eleq2i 1153	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ S ↔ w ∈ {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))})
29		cleq1 1107	. . . . . . . 8 ⊢ (u = w → (u = -(norm ‘(v −v A)) ↔ w = -(norm ‘(v −v A))))
30	29	birexdv 1220	. . . . . . 7 ⊢ (u = w → (∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A)) ↔ ∃v ∈ H w = -(norm ‘(v −v A))))
31	30	elrab 1422	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))} ↔ (w ∈ ℝ ∧ ∃v ∈ H w = -(norm ‘(v −v A))))
32	28, 31	bitr 151	. . . . 5 ⊢ (w ∈ S ↔ (w ∈ ℝ ∧ ∃v ∈ H w = -(norm ‘(v −v A))))
33		breq1 2065	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = -(norm ‘(v −v A)) → (w ≤ 0 ↔ -(norm ‘(v −v A)) ≤ 0))
34	9	chel 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v ∈ H → v ∈ ℋ )
35	34, 5	jctir 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v ∈ H → (v ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ))
36		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((v ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (v −v A) ∈ ℋ )
37		normge0t 5077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((v −v A) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘(v −v A)))
38		normclt 5076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((v −v A) ∈ ℋ → (norm ‘(v −v A)) ∈ ℝ)
39		le0neg2t 4373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((norm ‘(v −v A)) ∈ ℝ → (0 ≤ (norm ‘(v −v A)) ↔ -(norm ‘(v −v A)) ≤ 0))
40	38, 39	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((v −v A) ∈ ℋ → (0 ≤ (norm ‘(v −v A)) ↔ -(norm ‘(v −v A)) ≤ 0))
41	37, 40	mpbid 170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((v −v A) ∈ ℋ → -(norm ‘(v −v A)) ≤ 0)
42	35, 36, 41	3syl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (v ∈ H → -(norm ‘(v −v A)) ≤ 0)
43	33, 42	syl5bir 184	. . . . . . . 8 ⊢ (w = -(norm ‘(v −v A)) → (v ∈ H → w ≤ 0))
44	43	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ (v ∈ H → (w = -(norm ‘(v −v A)) → w ≤ 0))
45	44	r19.23aiv 1284	. . . . . 6 ⊢ (∃v ∈ H w = -(norm ‘(v −v A)) → w ≤ 0)
46	45	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ ℝ ∧ ∃v ∈ H w = -(norm ‘(v −v A))) → w ≤ 0)
47	32, 46	sylbi 174	. . . 4 ⊢ (w ∈ S → w ≤ 0)
48	47	rgen 1247	. . 3 ⊢ ∀w ∈ S w ≤ 0
49		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (z = 0 → (w ≤ z ↔ w ≤ 0))
50	49	biraldv 1219	. . . 4 ⊢ (z = 0 → (∀w ∈ S w ≤ z ↔ ∀w ∈ S w ≤ 0))
51	50	rcla4ev 1403	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀w ∈ S w ≤ 0) → ∃z ∈ ℝ ∀w ∈ S w ≤ z)
52	27, 48, 51	mp2an 520	. 2 ⊢ ∃z ∈ ℝ ∀w ∈ S w ≤ z
53	3, 26, 52	3pm3.2i 603	1 ⊢ (S ⊆ ℝ ∧ ¬ S = ∅ ∧ ∃z ∈ ℝ ∀w ∈ S w ≤ z)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  -cneg 4090   ≤ cle 4092   ℋ chil 4958  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962  normcno 4964   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  projlem9 5201  projlem12 5204  projlem13 5205  projlem15 5207

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org