Theorem prub 3892

Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
prub	⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C ∈ Q) → (¬ C ∈ A → B <Q C))

Proof of Theorem prub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (B = C → (B ∈ A ↔ C ∈ A))
2	1	biimpcd 137	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ A → (B = C → C ∈ A))
3	2	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → (B = C → C ∈ A))
4		prcdpq 3891	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → (C <Q B → C ∈ A))
5	3, 4	jaod 329	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → ((B = C ∨ C <Q B) → C ∈ A))
6	5	con3d 87	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → (¬ C ∈ A → ¬ (B = C ∨ C <Q B)))
7	6	adantr 306	. 2 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C ∈ Q) → (¬ C ∈ A → ¬ (B = C ∨ C <Q B)))
8		ltsopq 3869	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
9		sotric 2148	. . . 4 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (B ∈ Q ∧ C ∈ Q)) → (B <Q C ↔ ¬ (B = C ∨ C <Q B)))
10	8, 9	mpan 518	. . 3 ⊢ ((B ∈ Q ∧ C ∈ Q) → (B <Q C ↔ ¬ (B = C ∨ C <Q B)))
11		elprpq 3889	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → B ∈ Q)
12	10, 11	sylan 343	. 2 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C ∈ Q) → (B <Q C ↔ ¬ (B = C ∨ C <Q B)))
13	7, 12	sylibrd 179	1 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C ∈ Q) → (¬ C ∈ A → B <Q C))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   Or wor 2059  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  genpnnp 3902  psslinpr 3929  ltexprlem6 3941  ltexprlem7 3942  prlem936 3949  reclem4pr 3953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880

metamath.org