Theorem psslinpr 3929

Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
psslinpr	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A ⊂ B ∨ A = B ∨ B ⊂ A))

Proof of Theorem psslinpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prub 3892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((B ∈ P ∧ y ∈ B) ∧ x ∈ Q) → (¬ x ∈ B → y <Q x))
2		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ x ∈ A) → x ∈ Q)
3	1, 2	sylan2 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((B ∈ P ∧ y ∈ B) ∧ (A ∈ P ∧ x ∈ A)) → (¬ x ∈ B → y <Q x))
4		prcdpq 3891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ x ∈ A) → (y <Q x → y ∈ A))
5	4	adantl 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((B ∈ P ∧ y ∈ B) ∧ (A ∈ P ∧ x ∈ A)) → (y <Q x → y ∈ A))
6	3, 5	syld 27	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((B ∈ P ∧ y ∈ B) ∧ (A ∈ P ∧ x ∈ A)) → (¬ x ∈ B → y ∈ A))
7	6	exp43 301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ P → (y ∈ B → (A ∈ P → (x ∈ A → (¬ x ∈ B → y ∈ A)))))
8	7	com3r 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ P → (B ∈ P → (y ∈ B → (x ∈ A → (¬ x ∈ B → y ∈ A)))))
9	8	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (y ∈ B → (x ∈ A → (¬ x ∈ B → y ∈ A))))
10	9	imp4a 282	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (y ∈ B → ((x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B) → y ∈ A)))
11	10	com23 32	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B) → (y ∈ B → y ∈ A)))
12	11	19.21adv 945	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B) → ∀y(y ∈ B → y ∈ A)))
13	12	19.23adv 954	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (∃x(x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B) → ∀y(y ∈ B → y ∈ A)))
14		sspss 1569	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ B ↔ (A ⊂ B ∨ A = B))
15	14	negbii 162	. . . . 5 ⊢ (¬ A ⊆ B ↔ ¬ (A ⊂ B ∨ A = B))
16		nss 1550	. . . . 5 ⊢ (¬ A ⊆ B ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B))
17	15, 16	bitr3 153	. . . 4 ⊢ (¬ (A ⊂ B ∨ A = B) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B))
18		sspss 1569	. . . . 5 ⊢ (B ⊆ A ↔ (B ⊂ A ∨ B = A))
19		dfss2 1497	. . . . 5 ⊢ (B ⊆ A ↔ ∀y(y ∈ B → y ∈ A))
20	18, 19	bitr3 153	. . . 4 ⊢ ((B ⊂ A ∨ B = A) ↔ ∀y(y ∈ B → y ∈ A))
21	13, 17, 20	3imtr4g 426	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (¬ (A ⊂ B ∨ A = B) → (B ⊂ A ∨ B = A)))
22	21	orrd 203	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((A ⊂ B ∨ A = B) ∨ (B ⊂ A ∨ B = A)))
23		df-3or 582	. . 3 ⊢ ((A ⊂ B ∨ A = B ∨ B ⊂ A) ↔ ((A ⊂ B ∨ A = B) ∨ B ⊂ A))
24		or23 219	. . 3 ⊢ (((A ⊂ B ∨ A = B) ∨ B ⊂ A) ↔ ((A ⊂ B ∨ B ⊂ A) ∨ A = B))
25		orordir 223	. . . 4 ⊢ (((A ⊂ B ∨ B ⊂ A) ∨ A = B) ↔ ((A ⊂ B ∨ A = B) ∨ (B ⊂ A ∨ A = B)))
26		cleqcom 1103	. . . . . 6 ⊢ (B = A ↔ A = B)
27	26	orbi2i 214	. . . . 5 ⊢ ((B ⊂ A ∨ B = A) ↔ (B ⊂ A ∨ A = B))
28	27	orbi2i 214	. . . 4 ⊢ (((A ⊂ B ∨ A = B) ∨ (B ⊂ A ∨ B = A)) ↔ ((A ⊂ B ∨ A = B) ∨ (B ⊂ A ∨ A = B)))
29	25, 28	bitr4 154	. . 3 ⊢ (((A ⊂ B ∨ B ⊂ A) ∨ A = B) ↔ ((A ⊂ B ∨ A = B) ∨ (B ⊂ A ∨ B = A)))
30	23, 24, 29	3bitr 155	. 2 ⊢ ((A ⊂ B ∨ A = B ∨ B ⊂ A) ↔ ((A ⊂ B ∨ A = B) ∨ (B ⊂ A ∨ B = A)))
31	22, 30	sylibr 175	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A ⊂ B ∨ A = B ∨ B ⊂ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∨ w3o 580  ∀wal 672  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  ltsopr 3930

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880

metamath.org