Theorem pwen 3398

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87.

Hypotheses

Ref	Expression
pwen.1	⊢ A ∈ V
pwen.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
pwen	⊢ (A ≈ B → ℘A ≈ ℘B)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2o 3110	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
2		enrefg 3294	. . . 4 ⊢ (2o ∈ On → 2o ≈ 2o)
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 ⊢ 2o ≈ 2o
4	1	elisseti 1355	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
5		pwen.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
6		pwen.2	. . . 4 ⊢ B ∈ V
7	4, 4, 5, 6	mapen 3386	. . 3 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ A ≈ B) → (2o ↑m A) ≈ (2o ↑m B))
8	3, 7	mpan 518	. 2 ⊢ (A ≈ B → (2o ↑m A) ≈ (2o ↑m B))
9		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (2o ↑m A) ∈ V
10	5	pw2en 3348	. . . 4 ⊢ ℘A ≈ (2o ↑m A)
11		enen1 3375	. . . 4 ⊢ (((2o ↑m A) ∈ V ∧ ℘A ≈ (2o ↑m A)) → (℘A ≈ ℘B ↔ (2o ↑m A) ≈ ℘B))
12	9, 10, 11	mp2an 520	. . 3 ⊢ (℘A ≈ ℘B ↔ (2o ↑m A) ≈ ℘B)
13		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (2o ↑m B) ∈ V
14	6	pw2en 3348	. . . 4 ⊢ ℘B ≈ (2o ↑m B)
15		enen2 3376	. . . 4 ⊢ (((2o ↑m B) ∈ V ∧ ℘B ≈ (2o ↑m B)) → ((2o ↑m A) ≈ ℘B ↔ (2o ↑m A) ≈ (2o ↑m B)))
16	13, 14, 15	mp2an 520	. . 3 ⊢ ((2o ↑m A) ≈ ℘B ↔ (2o ↑m A) ≈ (2o ↑m B))
17	12, 16	bitr2 152	. 2 ⊢ ((2o ↑m A) ≈ (2o ↑m B) ↔ ℘A ≈ ℘B)
18	8, 17	sylib 173	1 ⊢ (A ≈ B → ℘A ≈ ℘B)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ℘cpw 1798   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  (class class class)co 3001  2_oc2o 3100   ↑_m cm 3258   ≈ cen 3271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-2o 3105  df-er 3200  df-map 3259  df-en 3274

metamath.org