Theorem pwssun 1917

Description: The power class of the union of two classes is a subset of the union of their power classes, iff one class is a subclass of the other. Exercise 4.12(l) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
pwssun	⊢ ((A ⊆ B ∨ B ⊆ A) ↔ ℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B))

Proof of Theorem pwssun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 209	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ B ∨ B ⊆ A) ↔ (B ⊆ A ∨ A ⊆ B))
2		ssequn2 1631	. . . . . 6 ⊢ (B ⊆ A ↔ (A ∪ B) = A)
3		pweq 1800	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∪ B) = A → ℘(A ∪ B) = ℘A)
4		eqimss 1548	. . . . . . 7 ⊢ (℘(A ∪ B) = ℘A → ℘(A ∪ B) ⊆ ℘A)
5	3, 4	syl 12	. . . . . 6 ⊢ ((A ∪ B) = A → ℘(A ∪ B) ⊆ ℘A)
6	2, 5	sylbi 174	. . . . 5 ⊢ (B ⊆ A → ℘(A ∪ B) ⊆ ℘A)
7		ssequn1 1628	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ B ↔ (A ∪ B) = B)
8		pweq 1800	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∪ B) = B → ℘(A ∪ B) = ℘B)
9		eqimss 1548	. . . . . . 7 ⊢ (℘(A ∪ B) = ℘B → ℘(A ∪ B) ⊆ ℘B)
10	8, 9	syl 12	. . . . . 6 ⊢ ((A ∪ B) = B → ℘(A ∪ B) ⊆ ℘B)
11	7, 10	sylbi 174	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ B → ℘(A ∪ B) ⊆ ℘B)
12	6, 11	orim12i 271	. . . 4 ⊢ ((B ⊆ A ∨ A ⊆ B) → (℘(A ∪ B) ⊆ ℘A ∨ ℘(A ∪ B) ⊆ ℘B))
13	1, 12	sylbi 174	. . 3 ⊢ ((A ⊆ B ∨ B ⊆ A) → (℘(A ∪ B) ⊆ ℘A ∨ ℘(A ∪ B) ⊆ ℘B))
14		ssun 1634	. . 3 ⊢ ((℘(A ∪ B) ⊆ ℘A ∨ ℘(A ∪ B) ⊆ ℘B) → ℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B))
15	13, 14	syl 12	. 2 ⊢ ((A ⊆ B ∨ B ⊆ A) → ℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B))
16		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) → ({x, y} ∈ ℘(A ∪ B) → {x, y} ∈ (℘A ∪ ℘B)))
17		unss12 1630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (({x} ⊆ A ∧ {y} ⊆ B) → ({x} ∪ {y}) ⊆ (A ∪ B))
18		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ x ∈ V
19	18	snss 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (x ∈ A ↔ {x} ⊆ A)
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ y ∈ V
21	20	snss 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (y ∈ B ↔ {y} ⊆ B)
22	17, 19, 21	syl2anb 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ({x} ∪ {y}) ⊆ (A ∪ B))
23		zfpair 1891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {x, y} ∈ V
24	23	elpw 1801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({x, y} ∈ ℘(A ∪ B) ↔ {x, y} ⊆ (A ∪ B))
25		df-pr 1812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {x, y} = ({x} ∪ {y})
26	25	sseq1i 1524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({x, y} ⊆ (A ∪ B) ↔ ({x} ∪ {y}) ⊆ (A ∪ B))
27	24, 26	bitr2 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (({x} ∪ {y}) ⊆ (A ∪ B) ↔ {x, y} ∈ ℘(A ∪ B))
28	22, 27	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → {x, y} ∈ ℘(A ∪ B))
29	16, 28	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) → ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → {x, y} ∈ (℘A ∪ ℘B)))
30	29	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) → (x ∈ A → (y ∈ B → {x, y} ∈ (℘A ∪ ℘B))))
31	30	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) → (y ∈ B → (x ∈ A → {x, y} ∈ (℘A ∪ ℘B))))
32	31	imp31 280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ y ∈ B) ∧ x ∈ A) → {x, y} ∈ (℘A ∪ ℘B))
33		elun 1601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({x, y} ∈ (℘A ∪ ℘B) ↔ ({x, y} ∈ ℘A ∨ {x, y} ∈ ℘B))
34	32, 33	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ y ∈ B) ∧ x ∈ A) → ({x, y} ∈ ℘A ∨ {x, y} ∈ ℘B))
35	23	elpw 1801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({x, y} ∈ ℘A ↔ {x, y} ⊆ A)
36	18, 20	prss 1854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A) ↔ {x, y} ⊆ A)
37	35, 36	bitr4 154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({x, y} ∈ ℘A ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ A))
38	37	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({x, y} ∈ ℘A → y ∈ A)
39	23	elpw 1801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({x, y} ∈ ℘B ↔ {x, y} ⊆ B)
40	18, 20	prss 1854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ B) ↔ {x, y} ⊆ B)
41	39, 40	bitr4 154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({x, y} ∈ ℘B ↔ (x ∈ B ∧ y ∈ B))
42	41	pm3.26bd 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({x, y} ∈ ℘B → x ∈ B)
43	38, 42	orim12i 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({x, y} ∈ ℘A ∨ {x, y} ∈ ℘B) → (y ∈ A ∨ x ∈ B))
44	34, 43	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ y ∈ B) ∧ x ∈ A) → (y ∈ A ∨ x ∈ B))
45	44	ord 202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ y ∈ B) ∧ x ∈ A) → (¬ y ∈ A → x ∈ B))
46	45	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ y ∈ B) → (x ∈ A → (¬ y ∈ A → x ∈ B)))
47	46	com23 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ y ∈ B) → (¬ y ∈ A → (x ∈ A → x ∈ B)))
48	47	imp 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ y ∈ B) ∧ ¬ y ∈ A) → (x ∈ A → x ∈ B))
49	48	ssrdv 1509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ y ∈ B) ∧ ¬ y ∈ A) → A ⊆ B)
50	49	exp31 293	. . . . . . . 8 ⊢ (℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) → (y ∈ B → (¬ y ∈ A → A ⊆ B)))
51		bi2.15 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ y ∈ A → A ⊆ B) ↔ (¬ A ⊆ B → y ∈ A))
52	50, 51	syl6ib 185	. . . . . . 7 ⊢ (℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) → (y ∈ B → (¬ A ⊆ B → y ∈ A)))
53	52	com23 32	. . . . . 6 ⊢ (℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) → (¬ A ⊆ B → (y ∈ B → y ∈ A)))
54	53	imp 277	. . . . 5 ⊢ ((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ ¬ A ⊆ B) → (y ∈ B → y ∈ A))
55	54	ssrdv 1509	. . . 4 ⊢ ((℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) ∧ ¬ A ⊆ B) → B ⊆ A)
56	55	exp 291	. . 3 ⊢ (℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) → (¬ A ⊆ B → B ⊆ A))
57	56	orrd 203	. 2 ⊢ (℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B) → (A ⊆ B ∨ B ⊆ A))
58	15, 57	impbi 139	1 ⊢ ((A ⊆ B ∨ B ⊆ A) ↔ ℘(A ∪ B) ⊆ (℘A ∪ ℘B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∪ cun 1485   ⊆ wss 1487  ℘cpw 1798  {csn 1808  {cpr 1809

This theorem is referenced by:  pwun 1918

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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