Theorem qaddclt 4642

Description: Closure of addition of rationals.

Assertion

Ref	Expression
qaddclt	⊢ ((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) → (A + B) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qaddclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = ((x · w) + (y · z)) → (u / v) = (((x · w) + (y · z)) / v))
2	1	cleq2d 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u = ((x · w) + (y · z)) → ((A + B) = (u / v) ↔ (A + B) = (((x · w) + (y · z)) / v)))
3		opreq2 3007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = (y · w) → (((x · w) + (y · z)) / v) = (((x · w) + (y · z)) / (y · w)))
4	3	cleq2d 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = (y · w) → ((A + B) = (((x · w) + (y · z)) / v) ↔ (A + B) = (((x · w) + (y · z)) / (y · w))))
5	2, 4	rcla42ev 1405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((x · w) + (y · z)) ∈ ℤ ∧ (y · w) ∈ ℕ) ∧ (A + B) = (((x · w) + (y · z)) / (y · w))) → ∃u ∈ ℤ ∃v ∈ ℕ (A + B) = (u / v))
6		elq 4629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A + B) ∈ ℚ ↔ ∃u ∈ ℤ ∃v ∈ ℕ (A + B) = (u / v))
7	5, 6	sylibr 175	. . . . . . . 8 ⊢ (((((x · w) + (y · z)) ∈ ℤ ∧ (y · w) ∈ ℕ) ∧ (A + B) = (((x · w) + (y · z)) / (y · w))) → (A + B) ∈ ℚ)
8		zaddclt 4590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x · w) ∈ ℤ ∧ (y · z) ∈ ℤ) → ((x · w) + (y · z)) ∈ ℤ)
9		zmulclt 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ w ∈ ℤ) → (x · w) ∈ ℤ)
10		nnzt 4579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w ∈ ℕ → w ∈ ℤ)
11	9, 10	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) → (x · w) ∈ ℤ)
12	11	adantrl 311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (x · w) ∈ ℤ)
13	12	adantlr 310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (x · w) ∈ ℤ)
14		zmulclt 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℤ ∧ z ∈ ℤ) → (y · z) ∈ ℤ)
15		nnzt 4579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℤ)
16	14, 15	sylan 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ z ∈ ℤ) → (y · z) ∈ ℤ)
17	16	adantrr 312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (y · z) ∈ ℤ)
18	17	adantll 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (y · z) ∈ ℤ)
19	8, 13, 18	sylanc 361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → ((x · w) + (y · z)) ∈ ℤ)
20		nnmulclt 4437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ w ∈ ℕ) → (y · w) ∈ ℕ)
21	20	adantrl 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (y · w) ∈ ℕ)
22	21	adantll 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (y · w) ∈ ℕ)
23	19, 22	jca 236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (((x · w) + (y · z)) ∈ ℤ ∧ (y · w) ∈ ℕ))
24	23	adantr 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ (A = (x / y) ∧ B = (z / w))) → (((x · w) + (y · z)) ∈ ℤ ∧ (y · w) ∈ ℕ))
25		opreq12 3008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A = (x / y) ∧ B = (z / w)) → (A + B) = ((x / y) + (z / w)))
26		divadddivt 4264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℂ ∧ w ∈ ℂ)) ∧ (y ≠ 0 ∧ w ≠ 0)) → ((x / y) + (z / w)) = (((x · w) + (y · z)) / (y · w)))
27		zcnt 4568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℂ)
28		nncnt 4428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
29	27, 28	anim12i 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ))
30		zcnt 4568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ ℤ → z ∈ ℂ)
31		nncnt 4428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ ℕ → w ∈ ℂ)
32	30, 31	anim12i 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) → (z ∈ ℂ ∧ w ∈ ℂ))
33	29, 32	anim12i 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℂ ∧ w ∈ ℂ)))
34		nnne0t 4444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → y ≠ 0)
35	34	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → y ≠ 0)
36		nnne0t 4444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ ℕ → w ≠ 0)
37	36	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) → w ≠ 0)
38	35, 37	anim12i 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (y ≠ 0 ∧ w ≠ 0))
39	26, 33, 38	sylanc 361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → ((x / y) + (z / w)) = (((x · w) + (y · z)) / (y · w)))
40	25, 39	sylan9eqr 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ (A = (x / y) ∧ B = (z / w))) → (A + B) = (((x · w) + (y · z)) / (y · w)))
41	7, 24, 40	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ (A = (x / y) ∧ B = (z / w))) → (A + B) ∈ ℚ)
42	41	an4s 390	. . . . . 6 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ A = (x / y)) ∧ ((z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) ∧ B = (z / w))) → (A + B) ∈ ℚ)
43	42	exp43 301	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → (A = (x / y) → ((z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) → (B = (z / w) → (A + B) ∈ ℚ))))
44	43	r19.23aivv 1287	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y) → ((z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) → (B = (z / w) → (A + B) ∈ ℚ)))
45	44	r19.23advv 1288	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y) → (∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w) → (A + B) ∈ ℚ))
46	45	imp 277	. 2 ⊢ ((∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y) ∧ ∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w)) → (A + B) ∈ ℚ)
47		elq 4629	. 2 ⊢ (A ∈ ℚ ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y))
48		elq 4629	. 2 ⊢ (B ∈ ℚ ↔ ∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w))
49	46, 47, 48	syl2anb 350	1 ⊢ ((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) → (A + B) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   + caddc 4031   · cmulc 4032   / cdiv 4091  ℕcn 4093  ℤcz 4095  ℚcq 4096

This theorem is referenced by:  qsubclt 4645  qrevaddclt 4648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564  df-q 4628

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