Theorem qnnen 4931

Description: The set of rationals and the set of natural numbers are equinumerous. (We use the Axiom of Choice via fodom 3613 to give us a shorter proof, but this theorem can also be proved without it. See, for example, Exercise 2 of [Enderton] p. 133.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	⊢ ℚ ≈ ℕ

Proof of Theorem qnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (x / y) ∈ V
2		cleqid 1102	. . . . . . 7 ⊢ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))}
3	1, 2	fnoprab2 3039	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))} Fn (ℤ × ℕ)
4	1, 2	elrnoprab 3054	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ ran {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))} ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ w = (x / y))
5		elq 4629	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ ℚ ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ w = (x / y))
6	4, 5	bitr4 154	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ ran {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))} ↔ w ∈ ℚ)
7	6	cleqri 1101	. . . . . 6 ⊢ ran {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))} = ℚ
8	3, 7	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))} Fn (ℤ × ℕ) ∧ ran {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))} = ℚ)
9		df-fo 2436	. . . . 5 ⊢ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))}:(ℤ × ℕ)–onto→ℚ ↔ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))} Fn (ℤ × ℕ) ∧ ran {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))} = ℚ))
10	8, 9	mpbir 165	. . . 4 ⊢ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))}:(ℤ × ℕ)–onto→ℚ
11		zex 4571	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
12		nnex 4431	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
13	11, 12	xpex 2488	. . . . 5 ⊢ (ℤ × ℕ) ∈ V
14	13	fodom 3613	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ z = (x / y))}:(ℤ × ℕ)–onto→ℚ → ℚ ≼ (ℤ × ℕ))
15	10, 14	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ℚ ≼ (ℤ × ℕ)
16		znnen 4930	. . . . 5 ⊢ ℤ ≈ ℕ
17	12	enref 3295	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ ℕ
18	11, 12, 12, 12	xpen 3383	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ℕ) → (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ))
19	16, 17, 18	mp2an 520	. . . 4 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ)
20		xpnnen 4927	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
21	19, 20	entr 3321	. . 3 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ℕ
22		domentr 3326	. . 3 ⊢ ((ℚ ≼ (ℤ × ℕ) ∧ (ℤ × ℕ) ≈ ℕ) → ℚ ≼ ℕ)
23	15, 21, 22	mp2an 520	. 2 ⊢ ℚ ≼ ℕ
24		nnssq 4635	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
25		ssdomg 3311	. . 3 ⊢ (ℕ ∈ V → (ℕ ⊆ ℚ → ℕ ≼ ℚ))
26	12, 24, 25	mp2 43	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℚ
27		sbth 3359	. 2 ⊢ ((ℚ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℚ) → ℚ ≈ ℕ)
28	23, 26, 27	mp2an 520	1 ⊢ ℚ ≈ ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   × cxp 2408  ran crn 2411   Fn wfn 2417  –onto→wfo 2420  (class class class)co 3001  {copab2 3002   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   / cdiv 4091  ℕcn 4093  ℤcz 4095  ℚcq 4096

This theorem is referenced by:  resdomq 4932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-en 3274  df-dom 3275  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-q 4628  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org