Theorem qrecclt 4646

Description: Closure of reciprocal of rationals.

Assertion

Ref	Expression
qrecclt	⊢ ((A ∈ ℚ ∧ A ≠ 0) → (1 / A) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qrecclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 4629	. . 3 ⊢ (A ∈ ℚ ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y))
2		neeq1 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = (x / y) → (A ≠ 0 ↔ (x / y) ≠ 0))
3		divneq0bt 4230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ y ≠ 0) → (x ≠ 0 ↔ (x / y) ≠ 0))
4		zcnt 4568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℂ)
5		nncnt 4428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
6	4, 5	anim12i 268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ))
7	3, 6	sylan 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) → (x ≠ 0 ↔ (x / y) ≠ 0))
8	7	bicomd 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) → ((x / y) ≠ 0 ↔ x ≠ 0))
9	2, 8	sylan9bbr 419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) ∧ A = (x / y)) → (A ≠ 0 ↔ x ≠ 0))
10		zmulclt 4596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → (x · y) ∈ ℤ)
11		nnzt 4579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℤ)
12	10, 11	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → (x · y) ∈ ℤ)
13	12	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ x ≠ 0) → (x · y) ∈ ℤ)
14		sqznn 4600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ x ≠ 0) → (x · x) ∈ ℕ)
15	14	adantlr 310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ x ≠ 0) → (x · x) ∈ ℕ)
16	13, 15	jca 236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ x ≠ 0) → ((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ))
17	16	adantlr 310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) ∧ x ≠ 0) → ((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ))
18	17	adantlr 310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) ∧ A = (x / y)) ∧ x ≠ 0) → ((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ))
19		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A = (x / y) → (1 / A) = (1 / (x / y)))
20		dividt 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ x ≠ 0) → (x / x) = 1)
21	20	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0)) → (x / x) = 1)
22	21	adantlr 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0)) → (x / x) = 1)
23	22	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0)) → ((x / x) / (x / y)) = (1 / (x / y)))
24		divdivdivt 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((x ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) ∧ (x ≠ 0 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0)) → ((x / x) / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
25		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → x ∈ ℂ)
26	25, 25	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (x ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ))
27	26	ancri 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((x ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)))
28		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((x ≠ 0 ∧ y ≠ 0) → x ≠ 0)
29		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((x ≠ 0 ∧ y ≠ 0) → y ≠ 0)
30	28, 28, 29	3jca 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((x ≠ 0 ∧ y ≠ 0) → (x ≠ 0 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0))
31	24, 27, 30	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0)) → ((x / x) / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
32	23, 31	eqtr3d 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0)) → (1 / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
33	32, 6	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0)) → (1 / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
34	33	anassrs 338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ x ≠ 0) ∧ y ≠ 0) → (1 / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
35	34	an1rs 373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) ∧ x ≠ 0) → (1 / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
36	19, 35	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) ∧ x ≠ 0) ∧ A = (x / y)) → (1 / A) = ((x · y) / (x · x)))
37	36	an1rs 373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) ∧ A = (x / y)) ∧ x ≠ 0) → (1 / A) = ((x · y) / (x · x)))
38	18, 37	jca 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) ∧ A = (x / y)) ∧ x ≠ 0) → (((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ) ∧ (1 / A) = ((x · y) / (x · x))))
39	38	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) ∧ A = (x / y)) → (x ≠ 0 → (((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ) ∧ (1 / A) = ((x · y) / (x · x)))))
40	9, 39	sylbid 178	. . . . . . . 8 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) ∧ A = (x / y)) → (A ≠ 0 → (((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ) ∧ (1 / A) = ((x · y) / (x · x)))))
41	40	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ y ≠ 0) → (A = (x / y) → (A ≠ 0 → (((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ) ∧ (1 / A) = ((x · y) / (x · x))))))
42	41	anasss 337	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ (y ∈ ℕ ∧ y ≠ 0)) → (A = (x / y) → (A ≠ 0 → (((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ) ∧ (1 / A) = ((x · y) / (x · x))))))
43		nnne0t 4444	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℕ → y ≠ 0)
44	43	ancli 244	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℕ → (y ∈ ℕ ∧ y ≠ 0))
45	42, 44	sylan2 346	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → (A = (x / y) → (A ≠ 0 → (((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ) ∧ (1 / A) = ((x · y) / (x · x))))))
46		opreq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (z = (x · y) → (z / w) = ((x · y) / w))
47	46	cleq2d 1112	. . . . . . 7 ⊢ (z = (x · y) → ((1 / A) = (z / w) ↔ (1 / A) = ((x · y) / w)))
48		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (w = (x · x) → ((x · y) / w) = ((x · y) / (x · x)))
49	48	cleq2d 1112	. . . . . . 7 ⊢ (w = (x · x) → ((1 / A) = ((x · y) / w) ↔ (1 / A) = ((x · y) / (x · x))))
50	47, 49	rcla42ev 1405	. . . . . 6 ⊢ ((((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ) ∧ (1 / A) = ((x · y) / (x · x))) → ∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ (1 / A) = (z / w))
51		elq 4629	. . . . . 6 ⊢ ((1 / A) ∈ ℚ ↔ ∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ (1 / A) = (z / w))
52	50, 51	sylibr 175	. . . . 5 ⊢ ((((x · y) ∈ ℤ ∧ (x · x) ∈ ℕ) ∧ (1 / A) = ((x · y) / (x · x))) → (1 / A) ∈ ℚ)
53	45, 52	syl8 25	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → (A = (x / y) → (A ≠ 0 → (1 / A) ∈ ℚ)))
54	53	r19.23aivv 1287	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y) → (A ≠ 0 → (1 / A) ∈ ℚ))
55	1, 54	sylbi 174	. 2 ⊢ (A ∈ ℚ → (A ≠ 0 → (1 / A) ∈ ℚ))
56	55	imp 277	1 ⊢ ((A ∈ ℚ ∧ A ≠ 0) → (1 / A) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   · cmulc 4032   / cdiv 4091  ℕcn 4093  ℤcz 4095  ℚcq 4096

This theorem is referenced by:  qdivclt 4647

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564  df-q 4628

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