Theorem r19.29 1295

Description: Theorem 19.29 of [Margaris] p. 90 with restricted quantifiers.

Assertion

Ref	Expression
r19.29	⊢ ((∀x ∈ A φ ∧ ∃x ∈ A ψ) → ∃x ∈ A (φ ∧ ψ))

Proof of Theorem r19.29

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.29 752	. . 3 ⊢ ((∀x(x ∈ A → φ) ∧ ∃x(x ∈ A ∧ ψ)) → ∃x((x ∈ A → φ) ∧ (x ∈ A ∧ ψ)))
2		anandi 392	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ (φ ∧ ψ)) ↔ ((x ∈ A ∧ φ) ∧ (x ∈ A ∧ ψ)))
3		abai 366	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A ∧ φ) ↔ (x ∈ A ∧ (x ∈ A → φ)))
4	3	anbi1i 368	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ A ∧ φ) ∧ (x ∈ A ∧ ψ)) ↔ ((x ∈ A ∧ (x ∈ A → φ)) ∧ (x ∈ A ∧ ψ)))
5		anandi 392	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ ((x ∈ A → φ) ∧ ψ)) ↔ ((x ∈ A ∧ (x ∈ A → φ)) ∧ (x ∈ A ∧ ψ)))
6	4, 5	bitr4 154	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ A ∧ φ) ∧ (x ∈ A ∧ ψ)) ↔ (x ∈ A ∧ ((x ∈ A → φ) ∧ ψ)))
7		an12 370	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ ((x ∈ A → φ) ∧ ψ)) ↔ ((x ∈ A → φ) ∧ (x ∈ A ∧ ψ)))
8	2, 6, 7	3bitr 155	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A ∧ (φ ∧ ψ)) ↔ ((x ∈ A → φ) ∧ (x ∈ A ∧ ψ)))
9	8	biex 733	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ (φ ∧ ψ)) ↔ ∃x((x ∈ A → φ) ∧ (x ∈ A ∧ ψ)))
10	1, 9	sylibr 175	. 2 ⊢ ((∀x(x ∈ A → φ) ∧ ∃x(x ∈ A ∧ ψ)) → ∃x(x ∈ A ∧ (φ ∧ ψ)))
11		df-ral 1205	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A φ ↔ ∀x(x ∈ A → φ))
12		df-rex 1206	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A ψ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ψ))
13	11, 12	anbi12i 369	. 2 ⊢ ((∀x ∈ A φ ∧ ∃x ∈ A ψ) ↔ (∀x(x ∈ A → φ) ∧ ∃x(x ∈ A ∧ ψ)))
14		df-rex 1206	. 2 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∧ ψ) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ (φ ∧ ψ)))
15	10, 13, 14	3imtr4 192	1 ⊢ ((∀x ∈ A φ ∧ ∃x ∈ A ψ) → ∃x ∈ A (φ ∧ ψ))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202

This theorem is referenced by:  r19.29r 1296

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-gen 677

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-ral 1205  df-rex 1206

metamath.org