Theorem r19.41v 1302

Description: Restricted quantifier version of Theorem 19.41 of [Margaris] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
r19.41v	⊢ (∃x ∈ A (φ ∧ ψ) ↔ (∃x ∈ A φ ∧ ψ))

Distinct variable group(s):   ψ,x

Proof of Theorem r19.41v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 336	. . . 4 ⊢ (((x ∈ A ∧ φ) ∧ ψ) ↔ (x ∈ A ∧ (φ ∧ ψ)))
2	1	biex 733	. . 3 ⊢ (∃x((x ∈ A ∧ φ) ∧ ψ) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ (φ ∧ ψ)))
3		19.41v 963	. . 3 ⊢ (∃x((x ∈ A ∧ φ) ∧ ψ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ψ))
4	2, 3	bitr3 153	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ (φ ∧ ψ)) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ψ))
5		df-rex 1206	. 2 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∧ ψ) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ (φ ∧ ψ)))
6		df-rex 1206	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ φ))
7	6	anbi1i 368	. 2 ⊢ ((∃x ∈ A φ ∧ ψ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ψ))
8	4, 5, 7	3bitr4 158	1 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∧ ψ) ↔ (∃x ∈ A φ ∧ ψ))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202

This theorem is referenced by:  r19.42v 1303  reuxfr 1580  isomin 2937  isoini 2938  mapsnen 3334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-gen 677  ax-17 925

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-rex 1206

metamath.org