Theorem r19.43 1304

Description: Restricted version of Theorem 19.43 of [Margaris] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
r19.43	⊢ (∃x ∈ A (φ ∨ ψ) ↔ (∃x ∈ A φ ∨ ∃x ∈ A ψ))

Proof of Theorem r19.43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		andi 456	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A ∧ (φ ∨ ψ)) ↔ ((x ∈ A ∧ φ) ∨ (x ∈ A ∧ ψ)))
2	1	biex 733	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ (φ ∨ ψ)) ↔ ∃x((x ∈ A ∧ φ) ∨ (x ∈ A ∧ ψ)))
3		19.43 767	. . 3 ⊢ (∃x((x ∈ A ∧ φ) ∨ (x ∈ A ∧ ψ)) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∨ ∃x(x ∈ A ∧ ψ)))
4	2, 3	bitr 151	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ (φ ∨ ψ)) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∨ ∃x(x ∈ A ∧ ψ)))
5		df-rex 1206	. 2 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∨ ψ) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ (φ ∨ ψ)))
6		df-rex 1206	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ φ))
7		df-rex 1206	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A ψ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ψ))
8	6, 7	orbi12i 216	. 2 ⊢ ((∃x ∈ A φ ∨ ∃x ∈ A ψ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∨ ∃x(x ∈ A ∧ ψ)))
9	4, 5, 8	3bitr4 158	1 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∨ ψ) ↔ (∃x ∈ A φ ∨ ∃x ∈ A ψ))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202

This theorem is referenced by:  r19.44av 1305  r19.45av 1306  r19.45zv 1770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-gen 677

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-rex 1206

metamath.org