Theorem r1suc 3496

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76.

Assertion

Ref	Expression
r1suc	⊢ (A ∈ On → (R1 ‘suc A) = ℘(R1 ‘A))

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 2838	. . 3 ⊢ (R1 ‘A) ∈ V
2	1	pwex 1806	. 2 ⊢ ℘(R1 ‘A) ∈ V
3		ax-17 925	. . 3 ⊢ (z ∈ ∅ → ∀x z ∈ ∅)
4		ax-17 925	. . 3 ⊢ (z ∈ A → ∀x z ∈ A)
5		ax-17 925	. . 3 ⊢ (z ∈ ℘(R1 ‘A) → ∀x z ∈ ℘(R1 ‘A))
6		df-r1 3487	. . 3 ⊢ R1 = rec({⟨x, y⟩∣y = ℘x}, ∅)
7		pweq 1800	. . 3 ⊢ (x = (R1 ‘A) → ℘x = ℘(R1 ‘A))
8	3, 4, 5, 6, 7	rdgsucopab 2984	. 2 ⊢ ((A ∈ On ∧ ℘(R1 ‘A) ∈ V) → (R1 ‘suc A) = ℘(R1 ‘A))
9	2, 8	mpan2 519	1 ⊢ (A ∈ On → (R1 ‘suc A) = ℘(R1 ‘A))

Syntax hints:   → wi 2   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707  ℘cpw 1798  Oncon0 2199  suc csuc 2201   ‘cfv 2422  R₁cr1 3485

This theorem is referenced by:  r1tr 3498  r1ord 3499  r1val1 3502  tz9.12lem3 3505  rankval2 3514  rankel 3524  rankval3 3525  rankpw 3528  r1rankid 3537

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487

metamath.org