Theorem rankpr 3536

Description: The rank of an unordered pair. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207.

Hypotheses

Ref	Expression
rankun.1	⊢ A ∈ V
rankun.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankpr	⊢ (rank ‘{A, B}) = suc ((rank ‘A) ∪ (rank ‘B))

Proof of Theorem rankpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 1812	. . . 4 ⊢ {A, B} = ({A} ∪ {B})
2	1	fveq2i 2835	. . 3 ⊢ (rank ‘{A, B}) = (rank ‘({A} ∪ {B}))
3		snex 1859	. . . 4 ⊢ {A} ∈ V
4		snex 1859	. . . 4 ⊢ {B} ∈ V
5	3, 4	rankun 3535	. . 3 ⊢ (rank ‘({A} ∪ {B})) = ((rank ‘{A}) ∪ (rank ‘{B}))
6		rankun.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
7	6	ranksn 3532	. . . 4 ⊢ (rank ‘{A}) = suc (rank ‘A)
8		rankun.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
9	8	ranksn 3532	. . . 4 ⊢ (rank ‘{B}) = suc (rank ‘B)
10	7, 9	uneq12i 1609	. . 3 ⊢ ((rank ‘{A}) ∪ (rank ‘{B})) = (suc (rank ‘A) ∪ suc (rank ‘B))
11	2, 5, 10	3eqtr 1123	. 2 ⊢ (rank ‘{A, B}) = (suc (rank ‘A) ∪ suc (rank ‘B))
12		rankon 3515	. . . 4 ⊢ (rank ‘A) ∈ On
13	12	onord 2343	. . 3 ⊢ Ord (rank ‘A)
14		rankon 3515	. . . 4 ⊢ (rank ‘B) ∈ On
15	14	onord 2343	. . 3 ⊢ Ord (rank ‘B)
16		ordsucun 2333	. . 3 ⊢ ((Ord (rank ‘A) ∧ Ord (rank ‘B)) → suc ((rank ‘A) ∪ (rank ‘B)) = (suc (rank ‘A) ∪ suc (rank ‘B)))
17	13, 15, 16	mp2an 520	. 2 ⊢ suc ((rank ‘A) ∪ (rank ‘B)) = (suc (rank ‘A) ∪ suc (rank ‘B))
18	11, 17	eqtr4 1122	1 ⊢ (rank ‘{A, B}) = suc ((rank ‘A) ∪ (rank ‘B))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∪ cun 1485  {csn 1808  {cpr 1809  Ord word 2198  suc csuc 2201   ‘cfv 2422  rankcrnk 3486

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org