Theorem rankuniss 3534

Description: Upper bound of the rank of a union. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207.

Hypothesis

Ref	Expression
ranksn.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankuniss	⊢ (rank ‘∪A) ⊆ (rank ‘A)

Proof of Theorem rankuniss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2	1	rankuni 3533	. 2 ⊢ (rank ‘∪A) = ∪x ∈ A (rank ‘x)
3		iunss 2017	. . 3 ⊢ (∪x ∈ A (rank ‘x) ⊆ (rank ‘A) ↔ ∀x ∈ A (rank ‘x) ⊆ (rank ‘A))
4	1	rankel 3524	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → (rank ‘x) ∈ (rank ‘A))
5		rankon 3515	. . . . 5 ⊢ (rank ‘A) ∈ On
6	5	onelss 2348	. . . 4 ⊢ ((rank ‘x) ∈ (rank ‘A) → (rank ‘x) ⊆ (rank ‘A))
7	4, 6	syl 12	. . 3 ⊢ (x ∈ A → (rank ‘x) ⊆ (rank ‘A))
8	3, 7	mprgbir 1250	. 2 ⊢ ∪x ∈ A (rank ‘x) ⊆ (rank ‘A)
9	2, 8	eqsstr 1530	1 ⊢ (rank ‘∪A) ⊆ (rank ‘A)

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∪cuni 1919  ∪ciun 1994   ‘cfv 2422  rankcrnk 3486

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org