Theorem rankval2 3514

Description: Value of an alternate definition of the rank function. Definition of [BellMachover] p. 478.

Assertion

Ref	Expression
rankval2	⊢ (A ∈ B → (rank ‘A) = ∩{x ∈ On∣A ⊆ (R1 ‘x)})

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem rankval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankvalg 3513	. 2 ⊢ (A ∈ B → (rank ‘A) = ∩{x ∈ On∣A ∈ (R1 ‘suc x)})
2		r1suc 3496	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ On → (R1 ‘suc x) = ℘(R1 ‘x))
3	2	eleq2d 1156	. . . . 5 ⊢ (x ∈ On → (A ∈ (R1 ‘suc x) ↔ A ∈ ℘(R1 ‘x)))
4		fvex 2838	. . . . . 6 ⊢ (R1 ‘x) ∈ V
5		elpw2g 1803	. . . . . 6 ⊢ ((R1 ‘x) ∈ V → (A ∈ ℘(R1 ‘x) ↔ A ⊆ (R1 ‘x)))
6	4, 5	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℘(R1 ‘x) ↔ A ⊆ (R1 ‘x))
7	3, 6	syl6bb 414	. . . 4 ⊢ (x ∈ On → (A ∈ (R1 ‘suc x) ↔ A ⊆ (R1 ‘x)))
8	7	birabi 1342	. . 3 ⊢ {x ∈ On∣A ∈ (R1 ‘suc x)} = {x ∈ On∣A ⊆ (R1 ‘x)}
9	8	inteqi 1969	. 2 ⊢ ∩{x ∈ On∣A ∈ (R1 ‘suc x)} = ∩{x ∈ On∣A ⊆ (R1 ‘x)}
10	1, 9	syl6eq 1140	1 ⊢ (A ∈ B → (rank ‘A) = ∩{x ∈ On∣A ⊆ (R1 ‘x)})

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {crab 1204  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ℘cpw 1798  ∩cint 1965  Oncon0 2199  suc csuc 2201   ‘cfv 2422  R₁cr1 3485  rankcrnk 3486

This theorem is referenced by:  rankr1id 3539  ranklon 3540

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org