Theorem rebtwnz 4620

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
rebtwnz	⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (x ≤ A ∧ A < (x + 1)))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem rebtwnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegclt 4172	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → -A ∈ ℝ)
2		zbtwnre 4619	. . 3 ⊢ (-A ∈ ℝ → ∃!y ∈ ℤ (-A ≤ y ∧ y < (-A + 1)))
3	1, 2	syl 12	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!y ∈ ℤ (-A ≤ y ∧ y < (-A + 1)))
4		lenegt 4368	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (x ≤ A ↔ -A ≤ -x))
5	4	ancoms 334	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (x ≤ A ↔ -A ≤ -x))
6		ltnegt 4366	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A − 1) ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((A − 1) < x ↔ -x < -(A − 1)))
7		ax1re 4064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		resubclt 4173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (A − 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	mpan2 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (A − 1) ∈ ℝ)
10	6, 9	sylan 343	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((A − 1) < x ↔ -x < -(A − 1)))
11		ltsubaddt 4353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((A − 1) < x ↔ A < (x + 1)))
12	7, 11	mp3an2 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((A − 1) < x ↔ A < (x + 1)))
13		recnt 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
14		1cn 4101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		negdi2t 4201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(A − 1) = (-A + 1))
16	14, 15	mpan2 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → -(A − 1) = (-A + 1))
17	13, 16	syl 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℝ → -(A − 1) = (-A + 1))
18	17	adantr 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → -(A − 1) = (-A + 1))
19	18	breq2d 2072	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (-x < -(A − 1) ↔ -x < (-A + 1)))
20	10, 12, 19	3bitr3d 423	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (A < (x + 1) ↔ -x < (-A + 1)))
21	5, 20	anbi12d 476	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((x ≤ A ∧ A < (x + 1)) ↔ (-A ≤ -x ∧ -x < (-A + 1))))
22		zret 4567	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℝ)
23	21, 22	sylan2 346	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → ((x ≤ A ∧ A < (x + 1)) ↔ (-A ≤ -x ∧ -x < (-A + 1))))
24	23	bicomd 399	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → ((-A ≤ -x ∧ -x < (-A + 1)) ↔ (x ≤ A ∧ A < (x + 1))))
25	24	bireudva 1317	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → (∃!x ∈ ℤ (-A ≤ -x ∧ -x < (-A + 1)) ↔ ∃!x ∈ ℤ (x ≤ A ∧ A < (x + 1))))
26		znegclt 4588	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℤ → -x ∈ ℤ)
27		znegclt 4588	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℤ → -y ∈ ℤ)
28		negcon2t 4168	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → (y = -x ↔ x = -y))
29		zcnt 4568	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℤ → y ∈ ℂ)
30		zcnt 4568	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ ℤ ∧ x ∈ ℤ) → (y = -x ↔ x = -y))
32	27, 31	reuhyp 1581	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℤ → ∃!x ∈ ℤ y = -x)
33		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (y = -x → (-A ≤ y ↔ -A ≤ -x))
34		breq1 2065	. . . . 5 ⊢ (y = -x → (y < (-A + 1) ↔ -x < (-A + 1)))
35	33, 34	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ (y = -x → ((-A ≤ y ∧ y < (-A + 1)) ↔ (-A ≤ -x ∧ -x < (-A + 1))))
36	26, 32, 35	reuxfr 1580	. . 3 ⊢ (∃!y ∈ ℤ (-A ≤ y ∧ y < (-A + 1)) ↔ ∃!x ∈ ℤ (-A ≤ -x ∧ -x < (-A + 1)))
37	25, 36	syl5bb 410	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (∃!y ∈ ℤ (-A ≤ y ∧ y < (-A + 1)) ↔ ∃!x ∈ ℤ (x ≤ A ∧ A < (x + 1))))
38	3, 37	mpbid 170	1 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (x ≤ A ∧ A < (x + 1)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃!wreu 1203   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   − cmin 4089  -cneg 4090   ≤ cle 4092  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  flclt 4624  flleltt 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org