Theorem receu 4215

Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18.

Hypotheses

Ref	Expression
receu.1	⊢ A ∈ ℂ
receu.2	⊢ B ∈ ℂ
receu.3	⊢ A ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
receu	⊢ ∃!x ∈ ℂ (A · x) = B

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem receu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		receu.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℂ
2		receu.3	. . . . 5 ⊢ A ≠ 0
3	1, 2	recex 4117	. . . 4 ⊢ ∃y ∈ ℂ (A · y) = 1
4		receu.2	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ ℂ
5		axmulcl 4068	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (y · B) ∈ ℂ)
6	4, 5	mpan2 519	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℂ → (y · B) ∈ ℂ)
7		risset 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((y · B) ∈ ℂ ↔ ∃x ∈ ℂ x = (y · B))
8	6, 7	sylib 173	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℂ → ∃x ∈ ℂ x = (y · B))
9		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = (y · B) → (A · x) = (A · (y · B)))
10		axmulass 4073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A · y) · B) = (A · (y · B)))
11	1, 10	mp3an1 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A · y) · B) = (A · (y · B)))
12	4, 11	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y ∈ ℂ → ((A · y) · B) = (A · (y · B)))
13	12	cleqcomd 1106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ ℂ → (A · (y · B)) = ((A · y) · B))
14	9, 13	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ x = (y · B)) → (A · x) = ((A · y) · B))
15		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A · y) = 1 → ((A · y) · B) = (1 · B))
16	4	mulid2 4115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · B) = B
17	15, 16	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A · y) = 1 → ((A · y) · B) = B)
18	14, 17	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A · y) = 1 ∧ (y ∈ ℂ ∧ x = (y · B))) → (A · x) = B)
19	18	exp32 294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A · y) = 1 → (y ∈ ℂ → (x = (y · B) → (A · x) = B)))
20	19	com12 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℂ → ((A · y) = 1 → (x = (y · B) → (A · x) = B)))
21	20	imp 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ (A · y) = 1) → (x = (y · B) → (A · x) = B))
22	21	a1d 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ (A · y) = 1) → (x ∈ ℂ → (x = (y · B) → (A · x) = B)))
23	22	r19.21aiv 1259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ (A · y) = 1) → ∀x ∈ ℂ (x = (y · B) → (A · x) = B))
24	23	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℂ → ((A · y) = 1 → ∀x ∈ ℂ (x = (y · B) → (A · x) = B)))
25		r19.22 1272	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x ∈ ℂ (x = (y · B) → (A · x) = B) → (∃x ∈ ℂ x = (y · B) → ∃x ∈ ℂ (A · x) = B))
26	24, 25	syl6 23	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℂ → ((A · y) = 1 → (∃x ∈ ℂ x = (y · B) → ∃x ∈ ℂ (A · x) = B)))
27	26	com23 32	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℂ → (∃x ∈ ℂ x = (y · B) → ((A · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = B)))
28	8, 27	mpd 46	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℂ → ((A · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = B))
29	28	r19.23aiv 1284	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ ℂ (A · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = B)
30	3, 29	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ∃x ∈ ℂ (A · x) = B
31	2	mulcant 4208	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((A · x) = (A · y) ↔ x = y))
32		cleq2 1110	. . . . . . 7 ⊢ ((A · y) = B → ((A · x) = (A · y) ↔ (A · x) = B))
33	32	biimparc 327	. . . . . 6 ⊢ (((A · x) = B ∧ (A · y) = B) → (A · x) = (A · y))
34	31, 33	syl5bi 183	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (((A · x) = B ∧ (A · y) = B) → x = y))
35	1, 34	mp3an1 639	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (((A · x) = B ∧ (A · y) = B) → x = y))
36	35	rgen2 1248	. . 3 ⊢ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ ℂ (((A · x) = B ∧ (A · y) = B) → x = y)
37	30, 36	pm3.2i 234	. 2 ⊢ (∃x ∈ ℂ (A · x) = B ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ ℂ (((A · x) = B ∧ (A · y) = B) → x = y))
38		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (x = y → (A · x) = (A · y))
39	38	cleq1d 1109	. . 3 ⊢ (x = y → ((A · x) = B ↔ (A · y) = B))
40	39	reu4 1340	. 2 ⊢ (∃!x ∈ ℂ (A · x) = B ↔ (∃x ∈ ℂ (A · x) = B ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ ℂ (((A · x) = B ∧ (A · y) = B) → x = y)))
41	37, 40	mpbir 165	1 ⊢ ∃!x ∈ ℂ (A · x) = B

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  divmul 4218  divcl 4221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-mul 4040

metamath.org