Theorem recexpr 3954

Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Assertion

Ref	Expression
recexpr	⊢ (A ∈ P → ∃x(x ∈ P ∧ (A ·P x) = 1P))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem recexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . 5 ⊢ (x = {z∣∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} → (A ·P x) = (A ·P {z∣∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}))
2	1	cleq1d 1109	. . . 4 ⊢ (x = {z∣∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} → ((A ·P x) = 1P ↔ (A ·P {z∣∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}) = 1P))
3	2	cla4egv 1397	. . 3 ⊢ ({z∣∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} ∈ P → ((A ·P {z∣∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}) = 1P → ∃x(A ·P x) = 1P))
4		breq1 2065	. . . . . . 7 ⊢ (z = w → (z <Q y ↔ w <Q y))
5	4	anbi1d 469	. . . . . 6 ⊢ (z = w → ((z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (w <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
6	5	biexdv 936	. . . . 5 ⊢ (z = w → (∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y(w <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
7	6	cbvabv 1424	. . . 4 ⊢ {z∣∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} = {w∣∃y(w <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}
8	7	reclem2pr 3951	. . 3 ⊢ (A ∈ P → {z∣∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)} ∈ P)
9	7	reclem4pr 3953	. . 3 ⊢ (A ∈ P → (A ·P {z∣∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}) = 1P)
10	3, 8, 9	sylc 62	. 2 ⊢ (A ∈ P → ∃x(A ·P x) = 1P)
11		1pr 3911	. . . . . . 7 ⊢ 1P ∈ P
12		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·P x) = 1P → ((A ·P x) ∈ P ↔ 1P ∈ P))
13	11, 12	mpbiri 169	. . . . . 6 ⊢ ((A ·P x) = 1P → (A ·P x) ∈ P)
14		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
15		dmmp 3910	. . . . . . 7 ⊢ dom ·P = (P × P)
16		0npr 3890	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
17	14, 15, 16	ndmoprrcl 3060	. . . . . 6 ⊢ ((A ·P x) ∈ P → (A ∈ P ∧ x ∈ P))
18	13, 17	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((A ·P x) = 1P → (A ∈ P ∧ x ∈ P))
19	18	pm3.27d 262	. . . 4 ⊢ ((A ·P x) = 1P → x ∈ P)
20	19	ancri 245	. . 3 ⊢ ((A ·P x) = 1P → (x ∈ P ∧ (A ·P x) = 1P))
21	20	19.22i 723	. 2 ⊢ (∃x(A ·P x) = 1P → ∃x(x ∈ P ∧ (A ·P x) = 1P))
22	10, 21	syl 12	1 ⊢ (A ∈ P → ∃x(x ∈ P ∧ (A ·P x) = 1P))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779  1_Pc1p 3780   ·_P cmp 3782

This theorem is referenced by:  recexsrlem 4006

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-mp 3883

metamath.org