Theorem recexsr 4010

Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126.

Hypothesis

Ref	Expression
recexsr.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
recexsr	⊢ (A ∈ R → (¬ A = 0R → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R)))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem recexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexsr.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2	1	sqgt0sr 4009	. 2 ⊢ (A ∈ R → (¬ A = 0R → 0R <R (A ·R A)))
3		oprex 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ·R y) ∈ V
4		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (A ·R y) → (x ∈ R ↔ (A ·R y) ∈ R))
5		opreq2 3007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (A ·R y) → (A ·R x) = (A ·R (A ·R y)))
6	5	cleq1d 1109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (A ·R y) → ((A ·R x) = 1R ↔ (A ·R (A ·R y)) = 1R))
7	4, 6	anbi12d 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (A ·R y) → ((x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R) ↔ ((A ·R y) ∈ R ∧ (A ·R (A ·R y)) = 1R)))
8	3, 7	cla4ev 1401	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ·R y) ∈ R ∧ (A ·R (A ·R y)) = 1R) → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R))
9		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ y ∈ V
10	1, 9	mulasssr 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ·R A) ·R y) = (A ·R (A ·R y))
11	10	cleq1i 1108	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ·R A) ·R y) = 1R ↔ (A ·R (A ·R y)) = 1R)
12	8, 11	sylan2b 347	. . . . . . 7 ⊢ (((A ·R y) ∈ R ∧ ((A ·R A) ·R y) = 1R) → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R))
13		mulclsr 3987	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ R ∧ y ∈ R) → (A ·R y) ∈ R)
14	12, 13	sylan 343	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ ((A ·R A) ·R y) = 1R) → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R))
15	14	exp31 293	. . . . 5 ⊢ (A ∈ R → (y ∈ R → (((A ·R A) ·R y) = 1R → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R))))
16	15	imp3a 279	. . . 4 ⊢ (A ∈ R → ((y ∈ R ∧ ((A ·R A) ·R y) = 1R) → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R)))
17	16	19.23adv 954	. . 3 ⊢ (A ∈ R → (∃y(y ∈ R ∧ ((A ·R A) ·R y) = 1R) → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R)))
18		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (A ·R A) ∈ V
19	18	recexsrlem 4006	. . 3 ⊢ (0R <R (A ·R A) → ∃y(y ∈ R ∧ ((A ·R A) ·R y) = 1R))
20	17, 19	syl5 22	. 2 ⊢ (A ∈ R → (0R <R (A ·R A) → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R)))
21	2, 20	syld 27	1 ⊢ (A ∈ R → (¬ A = 0R → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  1_Rc1r 3789   ·_R cmr 3792   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  axrrecex 4081

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967

metamath.org