Theorem recexsrlem 4006

Description: The reciprocal of a positive signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126.

Hypothesis

Ref	Expression
recexsrlem.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
recexsrlem	⊢ (0R <R A → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem recexsrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexsrlem.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
2		ltrelsr 3974	. . . . 5 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	1, 2	brel 2459	. . . 4 ⊢ (0R <R A → (0R ∈ R ∧ A ∈ R))
4	3	pm3.27d 262	. . 3 ⊢ (0R <R A → A ∈ R)
5		df-nr 3961	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
6		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~R = A → (0R <R [⟨y, z⟩] ~R ↔ 0R <R A))
7		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~R = A → ([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = (A ·R x))
8	7	cleq1d 1109	. . . . . 6 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~R = A → (([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R ↔ (A ·R x) = 1R))
9	8	biexdv 936	. . . . 5 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~R = A → (∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R ↔ ∃x(A ·R x) = 1R))
10	6, 9	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~R = A → ((0R <R [⟨y, z⟩] ~R → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R) ↔ (0R <R A → ∃x(A ·R x) = 1R)))
11		1pr 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1P ∈ P
12		addclpr 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((v ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (v +P 1P) ∈ P)
13	11, 12	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (v ∈ P → (v +P 1P) ∈ P)
14	13, 11	jctir 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (v ∈ P → ((v +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P))
15	14	anim2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) → ((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ ((v +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)))
16	15	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) ∧ ((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y)) → ((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ ((v +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)))
17		mulsrpr 3979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ ((v +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨y, z⟩] ~R ·R [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ) = [⟨((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)), ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P)))⟩] ~R )
18	16, 17	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) ∧ ((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y)) → ([⟨y, z⟩] ~R ·R [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ) = [⟨((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)), ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P)))⟩] ~R )
19		addclpr 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((y ·P (v +P 1P)) ∈ P ∧ (z ·P 1P) ∈ P) → ((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) ∈ P)
20		mulclpr 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y ∈ P ∧ (v +P 1P) ∈ P) → (y ·P (v +P 1P)) ∈ P)
21	20, 13	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((y ∈ P ∧ v ∈ P) → (y ·P (v +P 1P)) ∈ P)
22		mulclpr 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (z ·P 1P) ∈ P)
23	11, 22	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (z ∈ P → (z ·P 1P) ∈ P)
24	19, 21, 23	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((y ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ z ∈ P) → ((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) ∈ P)
25	24	an1rs 373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) → ((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) ∈ P)
26		addclpr 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((y ·P 1P) ∈ P ∧ (z ·P (v +P 1P)) ∈ P) → ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) ∈ P)
27		mulclpr 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (y ·P 1P) ∈ P)
28	11, 27	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y ∈ P → (y ·P 1P) ∈ P)
29		mulclpr 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z ∈ P ∧ (v +P 1P) ∈ P) → (z ·P (v +P 1P)) ∈ P)
30	29, 13	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((z ∈ P ∧ v ∈ P) → (z ·P (v +P 1P)) ∈ P)
31	26, 28, 30	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ∈ P ∧ (z ∈ P ∧ v ∈ P)) → ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) ∈ P)
32	31	anassrs 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) → ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) ∈ P)
33	25, 32	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) → (((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) ∈ P ∧ ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) ∈ P))
34		addclpr 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
35	11, 11, 34	mp2an 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
36	35, 11	pm3.2i 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)
37	33, 36	jctir 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) → ((((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) ∈ P ∧ ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) ∈ P) ∧ ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)))
38		enreceq 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) ∈ P ∧ ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) ∈ P) ∧ ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)), ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P)))⟩] ~R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) +P 1P) = (((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) +P (1P +P 1P))))
39	37, 38	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) → ([⟨((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)), ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P)))⟩] ~R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) +P 1P) = (((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) +P (1P +P 1P))))
40		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((z +P w) = y → ((z +P w) ·P v) = (y ·P v))
41	40	cleqcomd 1106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z +P w) = y → (y ·P v) = ((z +P w) ·P v))
42		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((w ·P v) = 1P → ((z ·P v) +P (w ·P v)) = ((z ·P v) +P 1P))
43		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ z ∈ V
44		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ w ∈ V
45		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ v ∈ V
46		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ u ∈ V
47		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ f ∈ V
48	46, 47	mulcompr 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (u ·P f) = (f ·P u)
49		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ x ∈ V
50	47, 49	distrpr 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (u ·P (f +P x)) = ((u ·P f) +P (u ·P x))
51	43, 44, 45, 48, 50	caoprdistrr 3081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((z +P w) ·P v) = ((z ·P v) +P (w ·P v))
52	42, 51	syl5eq 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((w ·P v) = 1P → ((z +P w) ·P v) = ((z ·P v) +P 1P))
53	41, 52	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y) → (y ·P v) = ((z ·P v) +P 1P))
54	53	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y) → ((y ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) = (((z ·P v) +P 1P) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))))
55		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (z ·P v) ∈ V
56	11	elisseti 1355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1P ∈ V
57		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P)) ∈ V
58	46, 47	addcompr 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (u +P f) = (f +P u)
59	47, 49	addasspr 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((u +P f) +P x) = (u +P (f +P x))
60	55, 56, 57, 58, 59	caopr32 3074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((z ·P v) +P 1P) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) = (((z ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P 1P)
61	54, 60	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y) → ((y ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) = (((z ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P 1P))
62	61	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y) → (((y ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P 1P) = ((((z ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P 1P) +P 1P))
63	56, 56	addasspr 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((z ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P 1P) +P 1P) = (((z ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P (1P +P 1P))
64	62, 63	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y) → (((y ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P 1P) = (((z ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P (1P +P 1P)))
65	45, 56	distrpr 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ·P (v +P 1P)) = ((y ·P v) +P (y ·P 1P))
66	65	opreq1i 3009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) = (((y ·P v) +P (y ·P 1P)) +P (z ·P 1P))
67		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ·P 1P) ∈ V
68		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ·P 1P) ∈ V
69	67, 68	addasspr 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((y ·P v) +P (y ·P 1P)) +P (z ·P 1P)) = ((y ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P)))
70	66, 69	eqtr 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) = ((y ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P)))
71	70	opreq1i 3009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) +P 1P) = (((y ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P 1P)
72	45, 56	distrpr 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ·P (v +P 1P)) = ((z ·P v) +P (z ·P 1P))
73	72	opreq2i 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) = ((y ·P 1P) +P ((z ·P v) +P (z ·P 1P)))
74	67, 55, 68, 58, 59	caopr12 3075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ·P 1P) +P ((z ·P v) +P (z ·P 1P))) = ((z ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P)))
75	73, 74	eqtr 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) = ((z ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P)))
76	75	opreq1i 3009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) +P (1P +P 1P)) = (((z ·P v) +P ((y ·P 1P) +P (z ·P 1P))) +P (1P +P 1P))
77	64, 71, 76	3eqtr4g 1147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y) → (((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)) +P 1P) = (((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P))) +P (1P +P 1P)))
78	39, 77	syl5bir 184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) → (((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y) → [⟨((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)), ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P)))⟩] ~R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ))
79	78	imp 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) ∧ ((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y)) → [⟨((y ·P (v +P 1P)) +P (z ·P 1P)), ((y ·P 1P) +P (z ·P (v +P 1P)))⟩] ~R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R )
80	18, 79	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) ∧ ((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y)) → ([⟨y, z⟩] ~R ·R [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ) = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R )
81		df-1r 3966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
82	80, 81	syl6eqr 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) ∧ ((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y)) → ([⟨y, z⟩] ~R ·R [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ) = 1R)
83		enrex 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ~R ∈ V
84		ecexg 3204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ~R ∈ V → [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ V)
85	83, 84	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ V
86		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R → ([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = ([⟨y, z⟩] ~R ·R [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ))
87	86	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R → (([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R ↔ ([⟨y, z⟩] ~R ·R [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ) = 1R))
88	85, 87	cla4ev 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([⟨y, z⟩] ~R ·R [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ) = 1R → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R)
89	82, 88	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ v ∈ P) ∧ ((w ·P v) = 1P ∧ (z +P w) = y)) → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R)
90	89	exp43 301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (v ∈ P → ((w ·P v) = 1P → ((z +P w) = y → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R))))
91	90	imp3a 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → ((v ∈ P ∧ (w ·P v) = 1P) → ((z +P w) = y → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R)))
92	91	19.23adv 954	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (∃v(v ∈ P ∧ (w ·P v) = 1P) → ((z +P w) = y → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R)))
93		recexpr 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ P → ∃v(v ∈ P ∧ (w ·P v) = 1P))
94	92, 93	syl5 22	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (w ∈ P → ((z +P w) = y → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R)))
95	94	imp3a 279	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → ((w ∈ P ∧ (z +P w) = y) → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R))
96	95	19.23adv 954	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (∃w(w ∈ P ∧ (z +P w) = y) → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R))
97		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
98	97, 43	gt0srpr 3981	. . . . . 6 ⊢ (0R <R [⟨y, z⟩] ~R ↔ z<P y)
99	97	ltexpri 3943	. . . . . 6 ⊢ (z<P y → ∃w(w ∈ P ∧ (z +P w) = y))
100	98, 99	sylbi 174	. . . . 5 ⊢ (0R <R [⟨y, z⟩] ~R → ∃w(w ∈ P ∧ (z +P w) = y))
101	96, 100	syl5 22	. . . 4 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (0R <R [⟨y, z⟩] ~R → ∃x([⟨y, z⟩] ~R ·R x) = 1R))
102	5, 10, 101	ecoptocl 3239	. . 3 ⊢ (A ∈ R → (0R <R A → ∃x(A ·R x) = 1R))
103	4, 102	mpcom 49	. 2 ⊢ (0R <R A → ∃x(A ·R x) = 1R)
104		1r 3984	. . . . . . 7 ⊢ 1R ∈ R
105		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·R x) = 1R → ((A ·R x) ∈ R ↔ 1R ∈ R))
106	104, 105	mpbiri 169	. . . . . 6 ⊢ ((A ·R x) = 1R → (A ·R x) ∈ R)
107		dmmulsr 3989	. . . . . . 7 ⊢ dom ·R = (R × R)
108		0nsr 3982	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
109	49, 107, 108	ndmoprrcl 3060	. . . . . 6 ⊢ ((A ·R x) ∈ R → (A ∈ R ∧ x ∈ R))
110	106, 109	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((A ·R x) = 1R → (A ∈ R ∧ x ∈ R))
111	110	pm3.27d 262	. . . 4 ⊢ ((A ·R x) = 1R → x ∈ R)
112	111	ancri 245	. . 3 ⊢ ((A ·R x) = 1R → (x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R))
113	112	19.22i 723	. 2 ⊢ (∃x(A ·R x) = 1R → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R))
114	103, 113	syl 12	1 ⊢ (0R <R A → ∃x(x ∈ R ∧ (A ·R x) = 1R))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  [cec 3198  Pcnp 3779  1_Pc1p 3780   +_P cpp 3781   ·_P cmp 3782  <_P cltp 3783   ~_R cer 3786  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  1_Rc1r 3789   ·_R cmr 3792   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  recexsr 4010  axrecex 4079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966

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