Theorem reclem1pr 3950

Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem1pr	⊢ (A ∈ P → ∅ ⊂ B)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 3888	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → A ⊂ Q)
2		pssnel 1752	. . . . . 6 ⊢ (A ⊂ Q → ∃x(x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ A))
3		recclpq 3866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ Q → (*Q ‘x) ∈ Q)
4		dmrecpq 3868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom *Q = Q
5		0npq 3844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
6	4, 5	ndmfvrcl 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((*Q ‘x) ∈ Q → x ∈ Q)
7	3, 6	impbi 139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ Q ↔ (*Q ‘x) ∈ Q)
8	7	anbi1i 368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A) ↔ ((*Q ‘x) ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A))
9		visset 1350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ x ∈ V
10	9	recrecpq 3867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ Q → (*Q ‘(*Q ‘x)) = x)
11	10	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ Q → ((*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A ↔ x ∈ A))
12	11	negbid 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ Q → (¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A ↔ ¬ x ∈ A))
13	12	pm5.32i 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A) ↔ (x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ A))
14	8, 13	bitr3 153	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q ‘x) ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A) ↔ (x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ A))
15		fvex 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (*Q ‘x) ∈ V
16		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (*Q ‘x) → (y ∈ Q ↔ (*Q ‘x) ∈ Q))
17		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = (*Q ‘x) → (*Q ‘y) = (*Q ‘(*Q ‘x)))
18	17	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = (*Q ‘x) → ((*Q ‘y) ∈ A ↔ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A))
19	18	negbid 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (*Q ‘x) → (¬ (*Q ‘y) ∈ A ↔ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A))
20	16, 19	anbi12d 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = (*Q ‘x) → ((y ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ((*Q ‘x) ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A)))
21	15, 20	cla4ev 1401	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q ‘x) ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘(*Q ‘x)) ∈ A) → ∃y(y ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
22	14, 21	sylbir 176	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ A) → ∃y(y ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
23	22	19.23aiv 952	. . . . . 6 ⊢ (∃x(x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ A) → ∃y(y ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
24	1, 2, 23	3syl 21	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → ∃y(y ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
25		nsmallpq 3877	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ Q → ∃x x <Q y)
26	25	anim1i 269	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (∃x x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
27		19.41v 963	. . . . . . 7 ⊢ (∃x(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (∃x x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
28	26, 27	sylibr 175	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃x(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
29	28	19.22i 723	. . . . 5 ⊢ (∃y(y ∈ Q ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃y∃x(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
30	24, 29	syl 12	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → ∃y∃x(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
31		excom 728	. . . 4 ⊢ (∃x∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y∃x(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
32	30, 31	sylibr 175	. . 3 ⊢ (A ∈ P → ∃x∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
33		reclempr.1	. . . . 5 ⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}
34	33	cleqabi 1176	. . . 4 ⊢ (x ∈ B ↔ ∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
35	34	biex 733	. . 3 ⊢ (∃x x ∈ B ↔ ∃x∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
36	32, 35	sylibr 175	. 2 ⊢ (A ∈ P → ∃x x ∈ B)
37		0pss 1730	. . 3 ⊢ (∅ ⊂ B ↔ ¬ B = ∅)
38		n0 1714	. . 3 ⊢ (¬ B = ∅ ↔ ∃x x ∈ B)
39	37, 38	bitr 151	. 2 ⊢ (∅ ⊂ B ↔ ∃x x ∈ B)
40	36, 39	sylibr 175	1 ⊢ (A ∈ P → ∅ ⊂ B)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  Qcnq 3773  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  reclem2pr 3951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880

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