Theorem reclem2pr 3951

Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem2pr	⊢ (A ∈ P → B ∈ P)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . 5 ⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}
2	1	reclem1pr 3950	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → ∅ ⊂ B)
3		prn0 3887	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ P → ¬ A = ∅)
4		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → z ∈ Q)
5		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ z ∈ V
6	5	recrecpq 3867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ Q → (*Q ‘(*Q ‘z)) = z)
7	6	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ Q → ((*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A ↔ z ∈ A))
8	7	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ Q → ((A ∈ P ∧ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A) ↔ (A ∈ P ∧ z ∈ A)))
9	4, 8	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → ((A ∈ P ∧ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A) ↔ (A ∈ P ∧ z ∈ A)))
10		fvex 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (*Q ‘z) ∈ V
11		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = (*Q ‘z) → (*Q ‘x) = (*Q ‘(*Q ‘z)))
12	11	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = (*Q ‘z) → ((*Q ‘x) ∈ A ↔ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A))
13	12	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (*Q ‘z) → ((A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A) ↔ (A ∈ P ∧ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A)))
14	10, 13	cla4ev 1401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ (*Q ‘(*Q ‘z)) ∈ A) → ∃x(A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A))
15	9, 14	syl6bir 188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → ∃x(A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A)))
16	15	pm2.43i 58	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → ∃x(A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A))
17		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A) → (*Q ‘x) ∈ Q)
18		dmrecpq 3868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom *Q = Q
19		0npq 3844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
20	18, 19	ndmfvrcl 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((*Q ‘x) ∈ Q → x ∈ Q)
21	17, 20	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A) → x ∈ Q)
22		prcdpq 3891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A) → ((*Q ‘y) <Q (*Q ‘x) → (*Q ‘y) ∈ A))
23		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ x ∈ V
24		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ y ∈ V
25	23, 24	ltrpq 3879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x <Q y → (*Q ‘y) <Q (*Q ‘x))
26	22, 25	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A) → (x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A))
27	26	19.21aiv 943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A) → ∀y(x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A))
28	1	cleqabi 1176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ B ↔ ∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
29		exanali 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ¬ ∀y(x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A))
30	28, 29	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ B ↔ ¬ ∀y(x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A))
31	30	bicon2i 194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y(x <Q y → (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ¬ x ∈ B)
32	27, 31	sylib 173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A) → ¬ x ∈ B)
33	21, 32	jca 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A) → (x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ B))
34	33	19.22i 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃x(A ∈ P ∧ (*Q ‘x) ∈ A) → ∃x(x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ B))
35	16, 34	syl 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → ∃x(x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ B))
36	35	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ P → (z ∈ A → ∃x(x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ B)))
37	36	19.23adv 954	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ P → (∃z z ∈ A → ∃x(x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ B)))
38		n0 1714	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∃z z ∈ A)
39		nss 1550	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ Q ⊆ B ↔ ∃x(x ∈ Q ∧ ¬ x ∈ B))
40	37, 38, 39	3imtr4g 426	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ P → (¬ A = ∅ → ¬ Q ⊆ B))
41	3, 40	mpd 46	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → ¬ Q ⊆ B)
42		ltrelpq 3845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
43	24, 42	brel 2459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x <Q y → (x ∈ Q ∧ y ∈ Q))
44	43	pm3.26d 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x <Q y → x ∈ Q)
45	44	adantr 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → x ∈ Q)
46	45	19.23aiv 952	. . . . . . . 8 ⊢ (∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → x ∈ Q)
47	28, 46	sylbi 174	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ B → x ∈ Q)
48	47	ssriv 1508	. . . . . 6 ⊢ B ⊆ Q
49	41, 48	jctil 240	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → (B ⊆ Q ∧ ¬ Q ⊆ B))
50		dfpss3 1558	. . . . 5 ⊢ (B ⊂ Q ↔ (B ⊆ Q ∧ ¬ Q ⊆ B))
51	49, 50	sylibr 175	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → B ⊂ Q)
52	2, 51	jca 236	. . 3 ⊢ (A ∈ P → (∅ ⊂ B ∧ B ⊂ Q))
53		ltsopq 3869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q Or Q
54	5, 53, 42, 23, 24	sotri 2630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z <Q x ∧ x <Q y) → z <Q y)
55	54	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z <Q x → (x <Q y → z <Q y))
56	55	anim1d 432	. . . . . . . . 9 ⊢ (z <Q x → ((x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
57	56	19.22dv 947	. . . . . . . 8 ⊢ (z <Q x → (∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
58		breq1 2065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = z → (x <Q y ↔ z <Q y))
59	58	anbi1d 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → ((x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
60	59	biexdv 936	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = z → (∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
61	5, 60, 1	elab2 1419	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ B ↔ ∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
62	57, 28, 61	3imtr4g 426	. . . . . . 7 ⊢ (z <Q x → (x ∈ B → z ∈ B))
63	62	com12 13	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ B → (z <Q x → z ∈ B))
64	63	19.21aiv 943	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → ∀z(z <Q x → z ∈ B))
65	23, 24	ltbtwnpq 3878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x <Q y → ∃z(x <Q z ∧ z <Q y))
66	65	anim1i 269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (∃z(x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
67		19.41v 963	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃z((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (∃z(x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
68	66, 67	sylibr 175	. . . . . . . 8 ⊢ ((x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃z((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
69	68	19.22i 723	. . . . . . 7 ⊢ (∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ∃y∃z((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
70		19.41v 963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃y((z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ∧ x <Q z) ↔ (∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ∧ x <Q z))
71		anass 336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (x <Q z ∧ (z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)))
72		ancom 333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x <Q z ∧ (z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)) ↔ ((z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ∧ x <Q z))
73	71, 72	bitr 151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ((z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ∧ x <Q z))
74	73	biex 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃y((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y((z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ∧ x <Q z))
75	61	anbi1i 368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ B ∧ x <Q z) ↔ (∃y(z <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ∧ x <Q z))
76	70, 74, 75	3bitr4 158	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃y((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (z ∈ B ∧ x <Q z))
77	76	biex 733	. . . . . . . 8 ⊢ (∃z∃y((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃z(z ∈ B ∧ x <Q z))
78		excom 728	. . . . . . . 8 ⊢ (∃z∃y((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ ∃y∃z((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
79	77, 78	bitr3 153	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(z ∈ B ∧ x <Q z) ↔ ∃y∃z((x <Q z ∧ z <Q y) ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
80	69, 28, 79	3imtr4 192	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ B → ∃z(z ∈ B ∧ x <Q z))
81		df-rex 1206	. . . . . 6 ⊢ (∃z ∈ B x <Q z ↔ ∃z(z ∈ B ∧ x <Q z))
82	80, 81	sylibr 175	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → ∃z ∈ B x <Q z)
83	64, 82	jca 236	. . . 4 ⊢ (x ∈ B → (∀z(z <Q x → z ∈ B) ∧ ∃z ∈ B x <Q z))
84	83	rgen 1247	. . 3 ⊢ ∀x ∈ B (∀z(z <Q x → z ∈ B) ∧ ∃z ∈ B x <Q z)
85	52, 84	jctir 241	. 2 ⊢ (A ∈ P → ((∅ ⊂ B ∧ B ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ B (∀z(z <Q x → z ∈ B) ∧ ∃z ∈ B x <Q z)))
86		elnp 3886	. 2 ⊢ (B ∈ P ↔ ((∅ ⊂ B ∧ B ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ B (∀z(z <Q x → z ∈ B) ∧ ∃z ∈ B x <Q z)))
87	85, 86	sylibr 175	1 ⊢ (A ∈ P → B ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  Qcnq 3773  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  reclem3pr 3952  reclem4pr 3953  recexpr 3954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880

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