Theorem reclem3pr 3952

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem3pr	⊢ (A ∈ P → 1P ⊆ (A ·P B))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem3pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (*Q ‘w) ∈ V
2	1	prlem936 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ P ∧ 1Q <Q (*Q ‘w)) → ∃v(v ∈ A ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A))
3		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((*Q ‘z) ·Q w) ∈ V
4	3	isseti 1352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∃x x = ((*Q ‘z) ·Q w)
5		fvex 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (*Q ‘z) ∈ V
6		fvex 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (*Q ‘v) ∈ V
7		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ x ∈ V
8		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ y ∈ V
9	7, 8	ltmpq 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (u ∈ Q → (x <Q y ↔ (u ·Q x) <Q (u ·Q y)))
10		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ w ∈ V
11	7, 8	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (x ·Q y) = (y ·Q x)
12	5, 6, 9, 10, 11	caoprord2 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (w ∈ Q → ((*Q ‘z) <Q (*Q ‘v) ↔ ((*Q ‘z) ·Q w) <Q ((*Q ‘v) ·Q w)))
13		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ v ∈ V
14		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ z ∈ V
15	13, 14	ltrpq 3879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (v <Q z → (*Q ‘z) <Q (*Q ‘v))
16	12, 15	syl5bi 183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (w ∈ Q → (v <Q z → ((*Q ‘z) ·Q w) <Q ((*Q ‘v) ·Q w)))
17	16	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (v <Q z → ((*Q ‘z) ·Q w) <Q ((*Q ‘v) ·Q w)))
18		recidpq 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (v ∈ Q → (v ·Q (*Q ‘v)) = 1Q)
19	13, 6	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (v ·Q (*Q ‘v)) = ((*Q ‘v) ·Q v)
20	18, 19	syl5eqr 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (v ∈ Q → ((*Q ‘v) ·Q v) = 1Q)
21		recidpq 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (w ∈ Q → (w ·Q (*Q ‘w)) = 1Q)
22	20, 21	opreqan12d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (((*Q ‘v) ·Q v) ·Q (w ·Q (*Q ‘w))) = (1Q ·Q 1Q))
23		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ u ∈ V
24	8, 23	mulasspq 3859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((x ·Q y) ·Q u) = (x ·Q (y ·Q u))
25	6, 13, 10, 11, 24, 1	caopr4 3078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((*Q ‘v) ·Q v) ·Q (w ·Q (*Q ‘w))) = (((*Q ‘v) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Q ‘w)))
26		1q 3851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 1Q ∈ Q
27		mulidpq 3863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
28	26, 27	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (1Q ·Q 1Q) = 1Q
29	22, 25, 28	3eqtr3g 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (((*Q ‘v) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Q ‘w))) = 1Q)
30		mulclpq 3854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((*Q ‘v) ∈ Q ∧ w ∈ Q) → ((*Q ‘v) ·Q w) ∈ Q)
31		recclpq 3866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (v ∈ Q → (*Q ‘v) ∈ Q)
32	30, 31	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → ((*Q ‘v) ·Q w) ∈ Q)
33		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ V
34	33	recmulpq 3864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((*Q ‘v) ·Q w) ∈ Q → ((*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) = (v ·Q (*Q ‘w)) ↔ (((*Q ‘v) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Q ‘w))) = 1Q))
35	32, 34	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → ((*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) = (v ·Q (*Q ‘w)) ↔ (((*Q ‘v) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Q ‘w))) = 1Q))
36	29, 35	mpbird 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) = (v ·Q (*Q ‘w)))
37	36	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → ((*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A ↔ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A))
38	37	negbid 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A ↔ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A))
39	38	biimprd 136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A → ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A))
40	17, 39	anim12d 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → ((v <Q z ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → (((*Q ‘z) ·Q w) <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ∧ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A)))
41		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → (x <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ↔ ((*Q ‘z) ·Q w) <Q ((*Q ‘v) ·Q w)))
42	41	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → ((x <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ∧ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A) ↔ (((*Q ‘z) ·Q w) <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ∧ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A)))
43	42	biimprcd 138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((*Q ‘z) ·Q w) <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ∧ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A) → (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → (x <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ∧ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A)))
44	40, 43	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → ((v <Q z ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → (x <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ∧ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A))))
45		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((*Q ‘v) ·Q w) ∈ V
46		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (y = ((*Q ‘v) ·Q w) → (x <Q y ↔ x <Q ((*Q ‘v) ·Q w)))
47		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (y = ((*Q ‘v) ·Q w) → (*Q ‘y) = (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)))
48	47	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (y = ((*Q ‘v) ·Q w) → ((*Q ‘y) ∈ A ↔ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A))
49	48	negbid 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (y = ((*Q ‘v) ·Q w) → (¬ (*Q ‘y) ∈ A ↔ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A))
50	46, 49	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (y = ((*Q ‘v) ·Q w) → ((x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) ↔ (x <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ∧ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A)))
51	45, 50	cla4ev 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((x <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ∧ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A) → ∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
52		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}
53	52	cleqabi 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (x ∈ B ↔ ∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
54	51, 53	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((x <Q ((*Q ‘v) ·Q w) ∧ ¬ (*Q ‘((*Q ‘v) ·Q w)) ∈ A) → x ∈ B)
55	44, 54	syl8 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((v ∈ Q ∧ w ∈ Q) → ((v <Q z ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → x ∈ B)))
56		ltrelpq 3845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
57	14, 56	brel 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (v <Q z → (v ∈ Q ∧ z ∈ Q))
58	57	pm3.26d 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (v <Q z → v ∈ Q)
59	55, 58	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((v <Q z ∧ w ∈ Q) → ((v <Q z ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → x ∈ B)))
60	59	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (v <Q z → (w ∈ Q → (v <Q z → (¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A → (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → x ∈ B)))))
61	60	pm2.43a 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (v <Q z → (w ∈ Q → (¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A → (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → x ∈ B))))
62	61	imp42 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((v <Q z ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) ∧ x = ((*Q ‘z) ·Q w)) → x ∈ B)
63	62	anim2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z ∈ A ∧ ((v <Q z ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) ∧ x = ((*Q ‘z) ·Q w))) → (z ∈ A ∧ x ∈ B))
64		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → (z ·Q x) = (z ·Q ((*Q ‘z) ·Q w)))
65		recidpq 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (z ∈ Q → (z ·Q (*Q ‘z)) = 1Q)
66	65	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (z ∈ Q → ((z ·Q (*Q ‘z)) ·Q w) = (1Q ·Q w))
67	5, 10	mulasspq 3859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((z ·Q (*Q ‘z)) ·Q w) = (z ·Q ((*Q ‘z) ·Q w))
68	66, 67	syl5eqr 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (z ∈ Q → (z ·Q ((*Q ‘z) ·Q w)) = (1Q ·Q w))
69		mulidpq 3863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (w ∈ Q → (w ·Q 1Q) = w)
70	26	elisseti 1355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1Q ∈ V
71	10, 70	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (w ·Q 1Q) = (1Q ·Q w)
72	69, 71	syl5eqr 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (w ∈ Q → (1Q ·Q w) = w)
73	68, 72	sylan9eq 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((z ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (z ·Q ((*Q ‘z) ·Q w)) = w)
74	57	pm3.27d 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (v <Q z → z ∈ Q)
75		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → w ∈ Q)
76	73, 74, 75	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((v <Q z ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) → (z ·Q ((*Q ‘z) ·Q w)) = w)
77	64, 76	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((v <Q z ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) ∧ x = ((*Q ‘z) ·Q w)) → (z ·Q x) = w)
78	77	cleqcomd 1106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((v <Q z ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) ∧ x = ((*Q ‘z) ·Q w)) → w = (z ·Q x))
79	78	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z ∈ A ∧ ((v <Q z ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) ∧ x = ((*Q ‘z) ·Q w))) → w = (z ·Q x))
80	63, 79	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((z ∈ A ∧ ((v <Q z ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) ∧ x = ((*Q ‘z) ·Q w))) → ((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x)))
81	80	exp44 302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ∈ A → (v <Q z → ((w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → ((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))))
82	81	imp31 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((z ∈ A ∧ v <Q z) ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) → (x = ((*Q ‘z) ·Q w) → ((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
83	82	19.22dv 947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((z ∈ A ∧ v <Q z) ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) → (∃x x = ((*Q ‘z) ·Q w) → ∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
84	4, 83	mpi 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((z ∈ A ∧ v <Q z) ∧ (w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A)) → ∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x)))
85	84	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z ∈ A ∧ v <Q z) → ((w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → ∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
86	85	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → ((z ∈ A ∧ v <Q z) → ∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
87	86	19.22dv 947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → (∃z(z ∈ A ∧ v <Q z) → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
88		prnmax 3893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ∧ v ∈ A) → ∃z(z ∈ A ∧ v <Q z))
89	87, 88	syl5 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w ∈ Q ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → ((A ∈ P ∧ v ∈ A) → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
90	89	exp4b 296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ Q → (¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A → (A ∈ P → (v ∈ A → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))))
91	90	com14 38	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v ∈ A → (¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A → (A ∈ P → (w ∈ Q → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))))
92	91	imp4b 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((v ∈ A ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → ((A ∈ P ∧ w ∈ Q) → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
93	92	19.23aiv 952	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃v(v ∈ A ∧ ¬ (v ·Q (*Q ‘w)) ∈ A) → ((A ∈ P ∧ w ∈ Q) → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
94	2, 93	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ∧ 1Q <Q (*Q ‘w)) → ((A ∈ P ∧ w ∈ Q) → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
95	10, 70	ltrpq 3879	. . . . . . . . 9 ⊢ (w <Q 1Q → (*Q ‘1Q) <Q (*Q ‘w))
96		fvex 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (*Q ‘1Q) ∈ V
97	96, 70	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((*Q ‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q ‘1Q))
98		recclpq 3866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q ‘1Q) ∈ Q)
99	26, 98	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (*Q ‘1Q) ∈ Q
100		mulidpq 3863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((*Q ‘1Q) ∈ Q → ((*Q ‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q ‘1Q))
101	99, 100	ax-mp 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((*Q ‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q ‘1Q)
102		recidpq 3865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q ‘1Q)) = 1Q)
103	26, 102	ax-mp 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1Q ·Q (*Q ‘1Q)) = 1Q
104	97, 101, 103	3eqtr3 1124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (*Q ‘1Q) = 1Q
105	104	breq1i 2068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((*Q ‘1Q) <Q (*Q ‘w) ↔ 1Q <Q (*Q ‘w))
106	95, 105	sylib 173	. . . . . . . 8 ⊢ (w <Q 1Q → 1Q <Q (*Q ‘w))
107	94, 106	sylan2 346	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ P ∧ w <Q 1Q) → ((A ∈ P ∧ w ∈ Q) → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
108	70, 56	brel 2459	. . . . . . . 8 ⊢ (w <Q 1Q → (w ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q))
109	108	pm3.26d 258	. . . . . . 7 ⊢ (w <Q 1Q → w ∈ Q)
110	107, 109	sylan2i 357	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ w <Q 1Q) → ((A ∈ P ∧ w <Q 1Q) → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
111	110	pm2.43i 58	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ w <Q 1Q) → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x)))
112	111	exp 291	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → (w <Q 1Q → ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
113	52	reclem2pr 3951	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → B ∈ P)
114		df-mp 3883	. . . . . 6 ⊢ ·P = {⟨⟨y, w⟩, v⟩∣((y ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ v = {u∣∃f ∈ y ∃g ∈ w u = (f ·Q g)})}
115	114, 10	genpelv 3897	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (w ∈ (A ·P B) ↔ ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
116	113, 115	mpdan 527	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → (w ∈ (A ·P B) ↔ ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
117	112, 116	sylibrd 179	. . 3 ⊢ (A ∈ P → (w <Q 1Q → w ∈ (A ·P B)))
118		df-1p 3881	. . . 4 ⊢ 1P = {w∣w <Q 1Q}
119	118	cleqabi 1176	. . 3 ⊢ (w ∈ 1P ↔ w <Q 1Q)
120	117, 119	syl5ib 181	. 2 ⊢ (A ∈ P → (w ∈ 1P → w ∈ (A ·P B)))
121	120	ssrdv 1509	1 ⊢ (A ∈ P → 1P ⊆ (A ·P B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   ·_Q cmq 3776  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779  1_Pc1p 3780   ·_P cmp 3782

This theorem is referenced by:  reclem4pr 3953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-mp 3883

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