Theorem reclem4pr 3953

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	⊢ (A ∈ P → (A ·P B) = 1P)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem4pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 ⊢ B = {x∣∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A)}
2	1	reclem2pr 3951	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → B ∈ P)
3		df-mp 3883	. . . . . . 7 ⊢ ·P = {⟨⟨y, w⟩, v⟩∣((y ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ v = {u∣∃f ∈ y ∃g ∈ w u = (f ·Q g)})}
4		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ w ∈ V
5	3, 4	genpelv 3897	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (w ∈ (A ·P B) ↔ ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
6	2, 5	mpdan 527	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → (w ∈ (A ·P B) ↔ ∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x))))
7		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → z ∈ Q)
8		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ x ∈ V
9		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ y ∈ V
10	8, 9	ltmpq 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ∈ Q → (x <Q y ↔ (z ·Q x) <Q (z ·Q y)))
11	7, 10	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → (x <Q y ↔ (z ·Q x) <Q (z ·Q y)))
12	11	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → (x <Q y → (z ·Q x) <Q (z ·Q y)))
13	12	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ y ∈ Q) → (x <Q y → (z ·Q x) <Q (z ·Q y)))
14		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ (*Q ‘y) ∈ Q) → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → z <Q (*Q ‘y)))
15		recclpq 3866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y ∈ Q → (*Q ‘y) ∈ Q)
16	14, 15	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ y ∈ Q) → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → z <Q (*Q ‘y)))
17		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ z ∈ V
18		fvex 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (*Q ‘y) ∈ V
19	17, 18	ltmpq 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ∈ Q → (z <Q (*Q ‘y) ↔ (y ·Q z) <Q (y ·Q (*Q ‘y))))
20	9, 17	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (y ·Q z) = (z ·Q y)
21	20	a1i 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y ∈ Q → (y ·Q z) = (z ·Q y))
22		recidpq 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y ∈ Q → (y ·Q (*Q ‘y)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 2073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ∈ Q → ((y ·Q z) <Q (y ·Q (*Q ‘y)) ↔ (z ·Q y) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y ∈ Q → (z <Q (*Q ‘y) ↔ (z ·Q y) <Q 1Q))
25	24	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ y ∈ Q) → (z <Q (*Q ‘y) ↔ (z ·Q y) <Q 1Q))
26	16, 25	sylibd 177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ y ∈ Q) → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → (z ·Q y) <Q 1Q))
27	13, 26	anim12d 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ y ∈ Q) → ((x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → ((z ·Q x) <Q (z ·Q y) ∧ (z ·Q y) <Q 1Q)))
28		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ·Q x) ∈ V
29		ltsopq 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ <Q Or Q
30		ltrelpq 3845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
31		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ·Q y) ∈ V
32		1q 3851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1Q ∈ Q
33	32	elisseti 1355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1Q ∈ V
34	28, 29, 30, 31, 33	sotri 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((z ·Q x) <Q (z ·Q y) ∧ (z ·Q y) <Q 1Q) → (z ·Q x) <Q 1Q)
35	27, 34	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ y ∈ Q) → ((x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (z ·Q x) <Q 1Q))
36	35	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → (y ∈ Q → (x <Q y → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → (z ·Q x) <Q 1Q))))
37	9, 30	brel 2459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x <Q y → (x ∈ Q ∧ y ∈ Q))
38	37	pm3.27d 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x <Q y → y ∈ Q)
39	36, 38	syl5 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → (x <Q y → (x <Q y → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → (z ·Q x) <Q 1Q))))
40	39	pm2.43d 59	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → (x <Q y → (¬ (*Q ‘y) ∈ A → (z ·Q x) <Q 1Q)))
41	40	imp3a 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → ((x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (z ·Q x) <Q 1Q))
42	41	19.23adv 954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → (∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A) → (z ·Q x) <Q 1Q))
43	1	cleqabi 1176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ B ↔ ∃y(x <Q y ∧ ¬ (*Q ‘y) ∈ A))
44	42, 43	syl5ib 181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → (x ∈ B → (z ·Q x) <Q 1Q))
45		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = (z ·Q x) → (w <Q 1Q ↔ (z ·Q x) <Q 1Q))
46	45	biimprcd 138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ·Q x) <Q 1Q → (w = (z ·Q x) → w <Q 1Q))
47	44, 46	syl6 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → (x ∈ B → (w = (z ·Q x) → w <Q 1Q)))
48	47	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ P → (z ∈ A → (x ∈ B → (w = (z ·Q x) → w <Q 1Q))))
49	48	imp4c 284	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → (((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x)) → w <Q 1Q))
50	49	19.23advv 955	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → (∃z∃x((z ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ w = (z ·Q x)) → w <Q 1Q))
51	6, 50	sylbid 178	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → (w ∈ (A ·P B) → w <Q 1Q))
52		df-1p 3881	. . . . 5 ⊢ 1P = {w∣w <Q 1Q}
53	52	cleqabi 1176	. . . 4 ⊢ (w ∈ 1P ↔ w <Q 1Q)
54	51, 53	syl6ibr 186	. . 3 ⊢ (A ∈ P → (w ∈ (A ·P B) → w ∈ 1P))
55	54	ssrdv 1509	. 2 ⊢ (A ∈ P → (A ·P B) ⊆ 1P)
56	1	reclem3pr 3952	. 2 ⊢ (A ∈ P → 1P ⊆ (A ·P B))
57	55, 56	eqssd 1518	1 ⊢ (A ∈ P → (A ·P B) = 1P)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   ·_Q cmq 3776  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779  1_Pc1p 3780   ·_P cmp 3782

This theorem is referenced by:  recexpr 3954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-mp 3883

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