Theorem recmulpq 3864

Description: Relationship between reciprocal and multiplication on positive fractions.

Hypothesis

Ref	Expression
recmulpq.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
recmulpq	⊢ (A ∈ Q → ((*Q ‘A) = B ↔ (A ·Q B) = 1Q))

Proof of Theorem recmulpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recmulpq.1	. 2 ⊢ B ∈ V
2		opreq1 3006	. . 3 ⊢ (x = A → (x ·Q y) = (A ·Q y))
3	2	cleq1d 1109	. 2 ⊢ (x = A → ((x ·Q y) = 1Q ↔ (A ·Q y) = 1Q))
4		opreq2 3007	. . 3 ⊢ (y = B → (A ·Q y) = (A ·Q B))
5	4	cleq1d 1109	. 2 ⊢ (y = B → ((A ·Q y) = 1Q ↔ (A ·Q B) = 1Q))
6		df-nq 3832	. . . 4 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
7		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = x → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = (x ·Q y))
8	7	cleq1d 1109	. . . . 5 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = x → (([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q ↔ (x ·Q y) = 1Q))
9	8	biexdv 936	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = x → (∃y([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q ↔ ∃y(x ·Q y) = 1Q))
10		mulpipq 3849	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ z ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
11	10	an42s 391	. . . . . . 7 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
12	11	anidms 332	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
13		mulclpi 3815	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → (z ·N w) ∈ N)
14		oprex 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ·N w) ∈ V
15	14	1qec 3862	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ·N w) ∈ N → 1Q = [⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩] ~Q )
16		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ z ∈ V
17		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ w ∈ V
18	16, 17	mulcompi 3818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ·N w) = (w ·N z)
19		opeq2 1877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ·N w) = (w ·N z) → ⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩ = ⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩)
20	18, 19	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩ = ⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩
21		eceq2 3215	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩ = ⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩ → [⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
22	20, 21	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ [⟨(z ·N w), (z ·N w)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q
23	15, 22	syl6eq 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((z ·N w) ∈ N → 1Q = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
24	13, 23	syl 12	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → 1Q = [⟨(z ·N w), (w ·N z)⟩] ~Q )
25	12, 24	eqtr4d 1131	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = 1Q)
26		enqex 3842	. . . . . . 7 ⊢ ~Q ∈ V
27		ecexg 3204	. . . . . . 7 ⊢ ( ~Q ∈ V → [⟨w, z⟩] ~Q ∈ V)
28	26, 27	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ [⟨w, z⟩] ~Q ∈ V
29		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (y = [⟨w, z⟩] ~Q → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ))
30	29	cleq1d 1109	. . . . . 6 ⊢ (y = [⟨w, z⟩] ~Q → (([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q ↔ ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = 1Q))
31	28, 30	cla4ev 1401	. . . . 5 ⊢ (([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨w, z⟩] ~Q ) = 1Q → ∃y([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q)
32	25, 31	syl 12	. . . 4 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ∃y([⟨z, w⟩] ~Q ·Q y) = 1Q)
33	6, 9, 32	ecoptocl 3239	. . 3 ⊢ (x ∈ Q → ∃y(x ·Q y) = 1Q)
34		eu5 1035	. . . 4 ⊢ (∃!y(x ·Q y) = 1Q ↔ (∃y(x ·Q y) = 1Q ∧ ∃*y(x ·Q y) = 1Q))
35		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
36		1q 3851	. . . . 5 ⊢ 1Q ∈ Q
37		dmmulpq 3855	. . . . 5 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
38		0npq 3844	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
39	16, 17	mulcompq 3858	. . . . 5 ⊢ (z ·Q w) = (w ·Q z)
40		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ v ∈ V
41	17, 40	mulasspq 3859	. . . . 5 ⊢ ((z ·Q w) ·Q v) = (z ·Q (w ·Q v))
42		mulidpq 3863	. . . . 5 ⊢ (z ∈ Q → (z ·Q 1Q) = z)
43	35, 36, 37, 38, 39, 41, 42	caoprmo 3084	. . . 4 ⊢ ∃*y(x ·Q y) = 1Q
44	34, 43	mpbiranr 548	. . 3 ⊢ (∃!y(x ·Q y) = 1Q ↔ ∃y(x ·Q y) = 1Q)
45	33, 44	sylibr 175	. 2 ⊢ (x ∈ Q → ∃!y(x ·Q y) = 1Q)
46		df-rq 3835	. 2 ⊢ *Q = {⟨x, y⟩∣(x ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q)}
47	1, 3, 5, 45, 46	fvopab3 2868	1 ⊢ (A ∈ Q → ((*Q ‘A) = B ↔ (A ·Q B) = 1Q))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  ∃!weu 1007  ∃*wmo 1008   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  [cec 3198  Ncnpi 3766   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   ·_Q cmq 3776  *_Qcrq 3777

This theorem is referenced by:  recidpq 3865  recrecpq 3867  reclem3pr 3952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834  df-rq 3835  df-1q 3837

metamath.org