Theorem recn 4098

Description: A real number is a complex number.

Hypothesis

Ref	Expression
recn.1	⊢ A ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
recn	⊢ A ∈ ℂ

Proof of Theorem recn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 4062	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		recn.1	. 2 ⊢ A ∈ ℝ
3	1, 2	sselii 1505	1 ⊢ A ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  ℂcc 4026  ℝcr 4027

This theorem is referenced by:  0cn 4100  1cn 4101  renegcl 4171  redivcl 4274  ltadd2 4312  ltadd1 4313  leadd2 4315  ltsubadd 4316  ltsubadd2 4317  lesubadd2 4318  lesubadd 4319  addgt0 4323  addge0 4324  addgegt0 4325  ltaddpos 4327  posdif 4328  add20 4329  ltneg 4330  leneg 4331  ltnegcon1 4332  ltnegcon2 4333  mulge0 4335  ltmullem 4337  lesub0 4341  subge0 4342  sqgt0 4343  sqge0 4344  eqneg 4378  recgt0i 4385  prodgt0i 4387  divgt0lem 4389  divge0 4392  ltmul1i 4393  ltmul2 4395  lemul2 4396  lemul1 4397  ltdivi 4398  ltmuldiv 4400  ltreci 4409  lerec 4411  ltdiv23i 4412  lt2sq 4414  halfpos 4421  nncn 4430  2cn 4471  3p2e5 4492  3p3e6 4493  4p2e6 4494  4p3e7 4495  4p4e8 4496  5p2e7 4497  5p3e8 4498  5p4e9 4499  6p2e8 4500  6p3e9 4501  7p2e9 4502  3t2e6 4504  3t3e9 4505  4t2e8 4506  4d2e2 4507  crulem 4528  cru 4529  crmult 4530  nn0cn 4545  lt2sqe 4700  le2sqe 4701  sqe11 4702  sqegt0 4703  sqege0 4704  discrlem1 4713  discrlem3 4715  nneo 4719  nnesq 4720  nn0opthlem2 4723  sqrlem1 4731  sqrlem2 4732  sqrlem10 4740  sqrlem11 4741  sqrlem15 4745  sqrlem16 4746  sqrlem19 4749  sqrlem20 4750  sqrmuli 4762  sqrsqe 4774  sqr2irrlem1 4777  sqr2irrlem4 4780  crre 4806  crim 4807  cjcj 4808  reim0 4809  rere 4810  cjre 4811  recj 4812  imcj 4813  readd 4814  imadd 4815  cjadd 4818  cjmul 4819  ipcn 4820  cjmulval 4822  reneg 4824  negre 4825  imneg 4826  cjneg 4827  addcj 4828  abs00 4839  absid 4850  absnid 4851  leabs 4852  absre 4854  abslt 4855  absle 4856  releabs 4858  abstri 4859  abs3lem 4861  abslem2i 4866  ruclem1 4885  ruclem2 4886  ruclem3 4887  normlem1 5063  normlem3 5065  normlem5 5067  normlem6 5068  norm-ii 5086  normsub 5089  norm3adif 5095  norm3lem 5096  normpar2 5100  bcs 5101  projlem3 5195  projlem4 5196  projlem5 5197  projlem7 5199  projlem12 5204  projlem13 5205  projlem18 5210  projlem26 5218  pjthlem5 5229  pjthlem8 5232  pjthlem11 5235  pjnel 5665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-enr 3960  df-nr 3961  df-0r 3965  df-c 4034  df-r 4038

metamath.org