Theorem renegcl 4171

Description: Closure law for negative of reals.

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ A ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ -A ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℝ
2		axrnegex 4080	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃x ∈ ℝ (A + x) = 0)
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ∃x ∈ ℝ (A + x) = 0
4		df-rex 1206	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ℝ (A + x) = 0 ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ (A + x) = 0))
5	3, 4	mpbi 164	. 2 ⊢ ∃x(x ∈ ℝ ∧ (A + x) = 0)
6		recnt 4097	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℝ → x ∈ ℂ)
7	1	recn 4098	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℂ
8		0cn 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		subaddt 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
10	8, 9	mp3an1 639	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
11	7, 10	mpan 518	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℂ → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
12	6, 11	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → ((0 − A) = x ↔ (A + x) = 0))
13		df-neg 4135	. . . . . . 7 ⊢ -A = (0 − A)
14	13	cleq1i 1108	. . . . . 6 ⊢ (-A = x ↔ (0 − A) = x)
15	12, 14	syl5bb 410	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ → (-A = x ↔ (A + x) = 0))
16		eleq1a 1158	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ → (-A = x → -A ∈ ℝ))
17	15, 16	sylbird 180	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℝ → ((A + x) = 0 → -A ∈ ℝ))
18	17	imp 277	. . 3 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ (A + x) = 0) → -A ∈ ℝ)
19	18	19.23aiv 952	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ ℝ ∧ (A + x) = 0) → -A ∈ ℝ)
20	5, 19	ax-mp 6	1 ⊢ -A ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028   + caddc 4031   − cmin 4089  -cneg 4090

This theorem is referenced by:  renegclt 4172  ltadd2 4312  ltsubadd 4316  ltneg 4330  leneg 4331  ltnegcon1 4332  ltnegcon2 4333  lesub0 4341  subge0 4342  sqgt0 4343  recgt0i 4385  inelr 4527  crulem 4528  crmult 4530  elnnz1 4581  halfnz 4586  discrlem1 4713  discrlem3 4715  sqrlem11 4741  nthruz 4785  cjcj 4808  recj 4812  imcj 4813  cjmul 4819  reneg 4824  imneg 4826  cjneg 4827  absnid 4851  abslt 4855  absle 4856  znnen 4930  normlem2 5064  normlem8 5071  projlem5 5197  projlem8 5200  projlem11 5203  projlem13 5205  projlem15 5207

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135

metamath.org