Theorem replimt 4798

Description: Construct a complex number from its real and imaginary parts.

Assertion

Ref	Expression
replimt	⊢ (A ∈ ℂ → A = ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i)))

Proof of Theorem replimt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleqid 1102	. . . . . 6 ⊢ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘A)
2		imclt 4797	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ ‘A) ∈ ℝ)
3		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = (ℑ ‘A) → (y · i) = ((ℑ ‘A) · i))
4	3	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = (ℑ ‘A) → (x + (y · i)) = (x + ((ℑ ‘A) · i)))
5	4	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = (ℑ ‘A) → (A = (x + (y · i)) ↔ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))))
6	5	birexdv 1220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (ℑ ‘A) → (∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∃x ∈ ℝ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))))
7		cleq2 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (ℑ ‘A) → ((ℑ ‘A) = y ↔ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘A)))
8	6, 7	bibi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = (ℑ ‘A) → ((∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ (ℑ ‘A) = y) ↔ (∃x ∈ ℝ A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ↔ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘A))))
9	8	imbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (y = (ℑ ‘A) → ((A ∈ ℂ → (∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ (ℑ ‘A) = y)) ↔ (A ∈ ℂ → (∃x ∈ ℝ A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ↔ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘A)))))
10		reuuni1 1955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ ∃!y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i))) → (∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∪{y ∈ ℝ∣∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i))} = y))
11		creui 4533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃!y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)))
12	10, 11	sylan2 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∪{y ∈ ℝ∣∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i))} = y))
13		imvalt 4795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ ‘A) = ∪{y ∈ ℝ∣∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i))})
14	13	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℑ ‘A) = y ↔ ∪{y ∈ ℝ∣∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i))} = y))
15	14	adantl 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → ((ℑ ‘A) = y ↔ ∪{y ∈ ℝ∣∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i))} = y))
16	12, 15	bitr4d 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ (ℑ ‘A) = y))
17	16	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (A ∈ ℂ → (∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ (ℑ ‘A) = y)))
18	9, 17	vtoclga 1387	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ ‘A) ∈ ℝ → (A ∈ ℂ → (∃x ∈ ℝ A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ↔ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘A))))
19	2, 18	mpcom 49	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (∃x ∈ ℝ A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ↔ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘A)))
20	1, 19	mpbiri 169	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ A = (x + ((ℑ ‘A) · i)))
21		df-rex 1206	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ ℝ A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))))
22	20, 21	sylib 173	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x(x ∈ ℝ ∧ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))))
23		cleqid 1102	. . . . . 6 ⊢ (ℜ ‘A) = (ℜ ‘A)
24		reclt 4796	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℜ ‘A) ∈ ℝ)
25		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = (ℜ ‘A) → (x + (y · i)) = ((ℜ ‘A) + (y · i)))
26	25	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (ℜ ‘A) → (A = (x + (y · i)) ↔ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))))
27	26	birexdv 1220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (ℜ ‘A) → (∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∃y ∈ ℝ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))))
28		cleq2 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (ℜ ‘A) → ((ℜ ‘A) = x ↔ (ℜ ‘A) = (ℜ ‘A)))
29	27, 28	bibi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (ℜ ‘A) → ((∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ (ℜ ‘A) = x) ↔ (∃y ∈ ℝ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)) ↔ (ℜ ‘A) = (ℜ ‘A))))
30	29	imbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (ℜ ‘A) → ((A ∈ ℂ → (∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ (ℜ ‘A) = x)) ↔ (A ∈ ℂ → (∃y ∈ ℝ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)) ↔ (ℜ ‘A) = (ℜ ‘A)))))
31		reuuni1 1955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ ∃!x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i))) → (∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∪{x ∈ ℝ∣∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i))} = x))
32		creur 4532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃!x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)))
33	31, 32	sylan2 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∪{x ∈ ℝ∣∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i))} = x))
34		revalt 4794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℜ ‘A) = ∪{x ∈ ℝ∣∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i))})
35	34	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℜ ‘A) = x ↔ ∪{x ∈ ℝ∣∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i))} = x))
36	35	adantl 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → ((ℜ ‘A) = x ↔ ∪{x ∈ ℝ∣∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i))} = x))
37	33, 36	bitr4d 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ (ℜ ‘A) = x))
38	37	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℝ → (A ∈ ℂ → (∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ (ℜ ‘A) = x)))
39	30, 38	vtoclga 1387	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ ‘A) ∈ ℝ → (A ∈ ℂ → (∃y ∈ ℝ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)) ↔ (ℜ ‘A) = (ℜ ‘A))))
40	24, 39	mpcom 49	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (∃y ∈ ℝ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)) ↔ (ℜ ‘A) = (ℜ ‘A)))
41	23, 40	mpbiri 169	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃y ∈ ℝ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))
42		df-rex 1206	. . . . 5 ⊢ (∃y ∈ ℝ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)) ↔ ∃y(y ∈ ℝ ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))))
43	41, 42	sylib 173	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃y(y ∈ ℝ ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))))
44	22, 43	jca 236	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (∃x(x ∈ ℝ ∧ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))) ∧ ∃y(y ∈ ℝ ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))))
45		an4 388	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))) ↔ ((x ∈ ℝ ∧ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))) ∧ (y ∈ ℝ ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))))
46	45	bi2ex 734	. . . 4 ⊢ (∃x∃y((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))) ↔ ∃x∃y((x ∈ ℝ ∧ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))) ∧ (y ∈ ℝ ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))))
47		eeanv 980	. . . 4 ⊢ (∃x∃y((x ∈ ℝ ∧ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))) ∧ (y ∈ ℝ ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))) ↔ (∃x(x ∈ ℝ ∧ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))) ∧ ∃y(y ∈ ℝ ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))))
48	46, 47	bitr 151	. . 3 ⊢ (∃x∃y((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))) ↔ (∃x(x ∈ ℝ ∧ A = (x + ((ℑ ‘A) · i))) ∧ ∃y(y ∈ ℝ ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))))
49	44, 48	sylibr 175	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x∃y((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))))
50		pm3.26 256	. . . . . 6 ⊢ ((A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))) → A = (x + ((ℑ ‘A) · i)))
51	50	ad2antrr 323	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))))) → A = (x + ((ℑ ‘A) · i)))
52	2	a1d 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ℂ → (x ∈ ℝ → (ℑ ‘A) ∈ ℝ))
53	52	ancld 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℂ → (x ∈ ℝ → (x ∈ ℝ ∧ (ℑ ‘A) ∈ ℝ)))
54	24	a1d 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ℂ → (y ∈ ℝ → (ℜ ‘A) ∈ ℝ))
55	54	ancrd 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℂ → (y ∈ ℝ → ((ℜ ‘A) ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)))
56	53, 55	anim12d 431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℂ → ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((x ∈ ℝ ∧ (ℑ ‘A) ∈ ℝ) ∧ ((ℜ ‘A) ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ))))
57	56	imp 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → ((x ∈ ℝ ∧ (ℑ ‘A) ∈ ℝ) ∧ ((ℜ ‘A) ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)))
58		crut 4531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ (ℑ ‘A) ∈ ℝ) ∧ ((ℜ ‘A) ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → ((x + ((ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + (y · i)) → (x = (ℜ ‘A) ∧ (ℑ ‘A) = y)))
59	57, 58	syl 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → ((x + ((ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + (y · i)) → (x = (ℜ ‘A) ∧ (ℑ ‘A) = y)))
60		cleqid 1102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ A = A
61		cleq12 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))) → (A = A ↔ (x + ((ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + (y · i))))
62	60, 61	mpbii 168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))) → (x + ((ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + (y · i)))
63	59, 62	syl5 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → ((A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))) → (x = (ℜ ‘A) ∧ (ℑ ‘A) = y)))
64	63	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))) → (x = (ℜ ‘A) ∧ (ℑ ‘A) = y))))
65	64	imp32 281	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))))) → (x = (ℜ ‘A) ∧ (ℑ ‘A) = y))
66	65	pm3.26d 258	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))))) → x = (ℜ ‘A))
67	66	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))))) → (x + ((ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i)))
68	51, 67	eqtrd 1128	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i))))) → A = ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i)))
69	68	exp 291	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))) → A = ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i))))
70	69	19.23advv 955	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (∃x∃y((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (A = (x + ((ℑ ‘A) · i)) ∧ A = ((ℜ ‘A) + (y · i)))) → A = ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i))))
71	49, 70	mpd 46	1 ⊢ (A ∈ ℂ → A = ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203  {crab 1204  ∪cuni 1919   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  ici 4030   + caddc 4031   · cmulc 4032  ℜcre 4786  ℑcim 4787

This theorem is referenced by:  replim 4805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-re 4790  df-im 4791

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