Theorem reuss 1577

Description: Restriction of uniqueness to a smaller subclass.

Assertion

Ref	Expression
reuss	⊢ ((A ⊆ B ∧ (∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B φ)) → ∃!x ∈ A φ)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem reuss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ B → (x ∈ A → x ∈ B))
2	1	anim1d 432	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ B → ((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ φ)))
3	2	19.21aiv 943	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ B → ∀x((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ φ)))
4		euimmo 1045	. . . . . 6 ⊢ (∀x((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ φ)) → (∃!x(x ∈ B ∧ φ) → ∃*x(x ∈ A ∧ φ)))
5	3, 4	syl 12	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ B → (∃!x(x ∈ B ∧ φ) → ∃*x(x ∈ A ∧ φ)))
6		eu5 1035	. . . . . . 7 ⊢ (∃!x(x ∈ A ∧ φ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃*x(x ∈ A ∧ φ)))
7	6	biimpr 134	. . . . . 6 ⊢ ((∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃*x(x ∈ A ∧ φ)) → ∃!x(x ∈ A ∧ φ))
8	7	exp 291	. . . . 5 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ φ) → (∃*x(x ∈ A ∧ φ) → ∃!x(x ∈ A ∧ φ)))
9	5, 8	syl9 55	. . . 4 ⊢ (A ⊆ B → (∃x(x ∈ A ∧ φ) → (∃!x(x ∈ B ∧ φ) → ∃!x(x ∈ A ∧ φ))))
10	9	imp32 281	. . 3 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃!x(x ∈ B ∧ φ))) → ∃!x(x ∈ A ∧ φ))
11		df-reu 1207	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ A φ ↔ ∃!x(x ∈ A ∧ φ))
12	10, 11	sylibr 175	. 2 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃!x(x ∈ B ∧ φ))) → ∃!x ∈ A φ)
13		df-rex 1206	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ φ))
14		df-reu 1207	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ B φ ↔ ∃!x(x ∈ B ∧ φ))
15	13, 14	anbi12i 369	. 2 ⊢ ((∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B φ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃!x(x ∈ B ∧ φ)))
16	12, 15	sylan2b 347	1 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B φ)) → ∃!x ∈ A φ)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678  ∃!weu 1007  ∃*wmo 1008   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203   ⊆ wss 1487

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-reu 1207  df-in 1491  df-ss 1492

metamath.org