Theorem reuuni4 1959

Description: Derive the property of 'the unique element in A such that φ ' when expressed explicitly as ∪{x ∈ A∣φ}.

Assertion

Ref	Expression
reuuni4	⊢ (∃!x ∈ A φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem reuuni4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reucl 1957	. 2 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ A)
2		reurex 1337	. . . 4 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∃x ∈ A φ)
3		hbreu1 1307	. . . . 5 ⊢ (∃!x ∈ A φ → ∀x∃!x ∈ A φ)
4		hbrab1 1310	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ {x ∈ A∣φ} → ∀x y ∈ {x ∈ A∣φ})
5	4	hbuni 1925	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ∪{x ∈ A∣φ} → ∀x y ∈ ∪{x ∈ A∣φ})
6	5	hbsbc 1446	. . . . 5 ⊢ ((∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ) → ∀x(∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
7		reuuni1 1955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ A ∧ ∃!x ∈ A φ) → (φ ↔ ∪{x ∈ A∣φ} = x))
8		sbceq1 1443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = ∪{x ∈ A∣φ} → (φ ↔ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
9	8	cleqcoms 1104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} = x → (φ ↔ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
10	7, 9	syl6bi 187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ A ∧ ∃!x ∈ A φ) → (φ → (φ ↔ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)))
11		ibib 448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ) ↔ (φ → (φ ↔ [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)))
12	10, 11	sylibr 175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A ∧ ∃!x ∈ A φ) → (φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
13	12	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ A → (∃!x ∈ A φ → (φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)))
14	13	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (x ∈ A → (φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)))
15	14	a1i 7	. . . . . 6 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → (∃!x ∈ A φ → (x ∈ A → (φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))))
16	15	com4l 39	. . . . 5 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (x ∈ A → (φ → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))))
17	3, 6, 16	r19.23ad 1285	. . . 4 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∃x ∈ A φ → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)))
18	2, 17	mpd 46	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ V → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
19		elisset 1354	. . 3 ⊢ (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → ∪{x ∈ A∣φ} ∈ V)
20	18, 19	syl5 22	. 2 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∪{x ∈ A∣φ} ∈ A → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ))
21	1, 20	mpd 46	1 ⊢ (∃!x ∈ A φ → [∪{x ∈ A∣φ} / x]φ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203  {crab 1204  Vcvv 1348  [wsbc 1440  ∪cuni 1919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-uni 1920

metamath.org