Theorem rext 1862

Description: A theorem similar to extensionality, requiring the existence of a singleton. Exercise 8 of [TakeutiZaring] p. 16.

Assertion

Ref	Expression
rext	⊢ (∀z(x ∈ z → y ∈ z) → x = y)

Distinct variable group(s):   x,y,z

Proof of Theorem rext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . 4 ⊢ x ∈ V
2	1	snid 1830	. . 3 ⊢ x ∈ {x}
3		snex 1859	. . . 4 ⊢ {x} ∈ V
4		eleq2 1150	. . . . 5 ⊢ (z = {x} → (x ∈ z ↔ x ∈ {x}))
5		eleq2 1150	. . . . 5 ⊢ (z = {x} → (y ∈ z ↔ y ∈ {x}))
6	4, 5	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (z = {x} → ((x ∈ z → y ∈ z) ↔ (x ∈ {x} → y ∈ {x})))
7	3, 6	cla4v 1400	. . 3 ⊢ (∀z(x ∈ z → y ∈ z) → (x ∈ {x} → y ∈ {x}))
8	2, 7	mpi 44	. 2 ⊢ (∀z(x ∈ z → y ∈ z) → y ∈ {x})
9		elsn 1820	. . 3 ⊢ (y ∈ {x} ↔ y = x)
10		eqcom 811	. . 3 ⊢ (y = x → x = y)
11	9, 10	sylbi 174	. 2 ⊢ (y ∈ {x} → x = y)
12	8, 11	syl 12	1 ⊢ (∀z(x ∈ z → y ∈ z) → x = y)

Syntax hints:   → wi 2  ∀wal 672   = weq 797   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {csn 1808

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org