Theorem ruclem11 4895

Description: Lemma for ruc 4924. The values of our sequence builder are pairs of real numbers. The values of our constructed function H are the second of these pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem11.a	⊢ A ∈ ℕ
ruclem11.d	⊢ D ∈ V
ruclem11.c	⊢ C ∈ V
ruclem11.4	⊢ H = (2nd ∘ (DseqC))

Assertion

Ref	Expression
ruclem11	⊢ (2nd ‘((DseqC) ‘A)) = (H ‘A)

Proof of Theorem ruclem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem11.4	. . 3 ⊢ H = (2nd ∘ (DseqC))
2	1	fveq1i 2833	. 2 ⊢ (H ‘A) = ((2nd ∘ (DseqC)) ‘A)
3		fo2nd 3095	. . . . . 6 ⊢ 2nd :V–onto→V
4		fof 2788	. . . . . 6 ⊢ (2nd :V–onto→V → 2nd :V–→V)
5	3, 4	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ 2nd :V–→V
6		ffun 2754	. . . . 5 ⊢ (2nd :V–→V → Fun 2nd )
7	5, 6	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ Fun 2nd
8		ruclem11.d	. . . . 5 ⊢ D ∈ V
9		ruclem11.c	. . . . 5 ⊢ C ∈ V
10	8, 9	seqfn 4672	. . . 4 ⊢ (DseqC) Fn ℕ
11	7, 10	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ (Fun 2nd ∧ (DseqC) Fn ℕ)
12		ruclem11.a	. . 3 ⊢ A ∈ ℕ
13		fvco2 2866	. . 3 ⊢ (((Fun 2nd ∧ (DseqC) Fn ℕ) ∧ A ∈ ℕ) → ((2nd ∘ (DseqC)) ‘A) = (2nd ‘((DseqC) ‘A)))
14	11, 12, 13	mp2an 520	. 2 ⊢ ((2nd ∘ (DseqC)) ‘A) = (2nd ‘((DseqC) ‘A))
15	2, 14	eqtr2 1120	1 ⊢ (2nd ‘((DseqC) ‘A)) = (H ‘A)

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∘ ccom 2414  Fun wfun 2416   Fn wfn 2417  –→wf 2418  –onto→wfo 2420   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  2^nd c2nd 3086  ℕcn 4093  seqcseq 4660

This theorem is referenced by:  ruclem15 4899  ruclem19 4903  ruclem21 4905  ruclem23 4907  ruclem25 4909

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-0r 3965  df-1r 3966  df-c 4034  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-n 4423  df-seq 4661

metamath.org