Theorem ruclem3 4887

Description: Lemma for ruc 4924. Arithmetic fact that will be used to compute ordering relations.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem1.a	⊢ A ∈ ℝ
ruclem1.b	⊢ B ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ruclem3	⊢ (A < B ↔ ((A + (2 · B)) / 3) < B)

Proof of Theorem ruclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem1.a	. . . 4 ⊢ A ∈ ℝ
2		ruclem1.b	. . . 4 ⊢ B ∈ ℝ
3		2re 4470	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3, 2	remulcl 4119	. . . 4 ⊢ (2 · B) ∈ ℝ
5	1, 2, 4	ltadd1 4313	. . 3 ⊢ (A < B ↔ (A + (2 · B)) < (B + (2 · B)))
6	2	recn 4098	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ ℂ
7	6	mulid2 4115	. . . . . 6 ⊢ (1 · B) = B
8	7	opreq1i 3009	. . . . 5 ⊢ ((1 · B) + (2 · B)) = (B + (2 · B))
9		df-3 4463	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
10		2cn 4471	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		1cn 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	10, 11	addcom 4106	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
13	9, 12	eqtr 1119	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (1 + 2)
14	13	opreq1i 3009	. . . . . 6 ⊢ (3 · B) = ((1 + 2) · B)
15	11, 10, 6	adddir 4111	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) · B) = ((1 · B) + (2 · B))
16	14, 15	eqtr2 1120	. . . . 5 ⊢ ((1 · B) + (2 · B)) = (3 · B)
17	8, 16	eqtr3 1121	. . . 4 ⊢ (B + (2 · B)) = (3 · B)
18	17	breq2i 2069	. . 3 ⊢ ((A + (2 · B)) < (B + (2 · B)) ↔ (A + (2 · B)) < (3 · B))
19	5, 18	bitr 151	. 2 ⊢ (A < B ↔ (A + (2 · B)) < (3 · B))
20	1, 4	readdcl 4118	. . 3 ⊢ (A + (2 · B)) ∈ ℝ
21		3re 4472	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
22	21, 2	remulcl 4119	. . 3 ⊢ (3 · B) ∈ ℝ
23		3pos 4480	. . 3 ⊢ 0 < 3
24	20, 22, 21, 23	ltdivi 4398	. 2 ⊢ ((A + (2 · B)) < (3 · B) ↔ ((A + (2 · B)) / 3) < ((3 · B) / 3))
25	21	recn 4098	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	21, 23	gt0ne0i 4345	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
27	25, 6, 26	divcan3 4247	. . 3 ⊢ ((3 · B) / 3) = B
28	27	breq2i 2069	. 2 ⊢ (((A + (2 · B)) / 3) < ((3 · B) / 3) ↔ ((A + (2 · B)) / 3) < B)
29	19, 24, 28	3bitr 155	1 ⊢ (A < B ↔ ((A + (2 · B)) / 3) < B)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091  2c2 4454  3c3 4455

This theorem is referenced by:  ruclem27 4911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-2 4462  df-3 4463

metamath.org