Theorem ruclem37 4921

Description: Lemma for ruc 4924. If F is any function that maps ℕ into ℝ, then F cannot be onto ℝ.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem.0	⊢ F:ℕ–→ℝ
ruclem.1	⊢ C = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ∪ (F ↾ (ℕ ∖ {1})))
ruclem.2	⊢ D = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ (ℝ × ℝ) ∧ y ∈ ℝ) ∧ z = if(((1st ‘x) < y ∧ y < (2nd ‘x)), ⟨(((2 · y) + (2nd ‘x)) / 3), ((y + (2 · (2nd ‘x))) / 3)⟩, ⟨(((2 · (1st ‘x)) + (2nd ‘x)) / 3), (((1st ‘x) + (2 · (2nd ‘x))) / 3)⟩))}
ruclem.3	⊢ G = (1st ∘ (DseqC))
ruclem.4	⊢ H = (2nd ∘ (DseqC))
ruclem.5	⊢ S = sup(ran G, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
ruclem37	⊢ ¬ F:ℕ–onto→ℝ

Distinct variable group(s):   x,y,z   z,F

Proof of Theorem ruclem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → (F ‘w) = (F ‘if(w ∈ ℕ, w, 1)))
2	1	cleq1d 1109	. . . . . 6 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → ((F ‘w) = S ↔ (F ‘if(w ∈ ℕ, w, 1)) = S))
3	2	negbid 463	. . . . 5 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → (¬ (F ‘w) = S ↔ ¬ (F ‘if(w ∈ ℕ, w, 1)) = S))
4		ruclem.0	. . . . . 6 ⊢ F:ℕ–→ℝ
5		ruclem.1	. . . . . 6 ⊢ C = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ∪ (F ↾ (ℕ ∖ {1})))
6		ruclem.2	. . . . . 6 ⊢ D = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ (ℝ × ℝ) ∧ y ∈ ℝ) ∧ z = if(((1st ‘x) < y ∧ y < (2nd ‘x)), ⟨(((2 · y) + (2nd ‘x)) / 3), ((y + (2 · (2nd ‘x))) / 3)⟩, ⟨(((2 · (1st ‘x)) + (2nd ‘x)) / 3), (((1st ‘x) + (2 · (2nd ‘x))) / 3)⟩))}
7		ruclem.3	. . . . . 6 ⊢ G = (1st ∘ (DseqC))
8		ruclem.4	. . . . . 6 ⊢ H = (2nd ∘ (DseqC))
9		ruclem.5	. . . . . 6 ⊢ S = sup(ran G, ℝ, < )
10		1nn 4432	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	10	elimel 1793	. . . . . 6 ⊢ if(w ∈ ℕ, w, 1) ∈ ℕ
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 11	ruclem36 4920	. . . . 5 ⊢ ¬ (F ‘if(w ∈ ℕ, w, 1)) = S
13	3, 12	dedth 1784	. . . 4 ⊢ (w ∈ ℕ → ¬ (F ‘w) = S)
14	13	nrex 1270	. . 3 ⊢ ¬ ∃w ∈ ℕ (F ‘w) = S
15		ffn 2752	. . . . 5 ⊢ (F:ℕ–→ℝ → F Fn ℕ)
16	4, 15	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ F Fn ℕ
17		fvelrn 2883	. . . 4 ⊢ (F Fn ℕ → (S ∈ ran F ↔ ∃w ∈ ℕ (F ‘w) = S))
18	16, 17	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (S ∈ ran F ↔ ∃w ∈ ℕ (F ‘w) = S)
19	14, 18	mtbir 167	. 2 ⊢ ¬ S ∈ ran F
20	4, 5, 6, 7, 8, 9	ruclem34 4918	. . 3 ⊢ S ∈ ℝ
21		forn 2789	. . . 4 ⊢ (F:ℕ–onto→ℝ → ran F = ℝ)
22	21	eleq2d 1156	. . 3 ⊢ (F:ℕ–onto→ℝ → (S ∈ ran F ↔ S ∈ ℝ))
23	20, 22	mpbiri 169	. 2 ⊢ (F:ℕ–onto→ℝ → S ∈ ran F)
24	19, 23	mto 93	1 ⊢ ¬ F:ℕ–onto→ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∖ cdif 1484   ∪ cun 1485  ifcif 1776  {csn 1808  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  supcsup 2060   × cxp 2408  ran crn 2411   ↾ cres 2412   ∘ ccom 2414   Fn wfn 2417  –→wf 2418  –onto→wfo 2420   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  {copab2 3002  1^st c1st 3085  2^nd c2nd 3086  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091  ℕcn 4093  2c2 4454  3c3 4455  seqcseq 4660

This theorem is referenced by:  ruclem38 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661

metamath.org