Theorem ruclem7 4891

Description: Lemma for ruc 4924. Helper lemma showing the initial value of the input function for our sequence builder (defined in ruclem13 4897).

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem5.0	⊢ F:ℕ–→ℝ
ruclem5.1	⊢ C = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ∪ (F ↾ (ℕ ∖ {1})))

Assertion

Ref	Expression
ruclem7	⊢ (C ‘1) = ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩

Proof of Theorem ruclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 4432	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2	1	elisseti 1355	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
3	2	snid 1830	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
4		fvres 2840	. . 3 ⊢ (1 ∈ {1} → ((C ↾ {1}) ‘1) = (C ‘1))
5	3, 4	ax-mp 6	. 2 ⊢ ((C ↾ {1}) ‘1) = (C ‘1)
6		ruclem5.1	. . . . . 6 ⊢ C = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ∪ (F ↾ (ℕ ∖ {1})))
7		reseq1 2575	. . . . . 6 ⊢ (C = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ∪ (F ↾ (ℕ ∖ {1}))) → (C ↾ {1}) = (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ∪ (F ↾ (ℕ ∖ {1}))) ↾ {1}))
8	6, 7	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ (C ↾ {1}) = (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ∪ (F ↾ (ℕ ∖ {1}))) ↾ {1})
9		resundir 2583	. . . . 5 ⊢ (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ∪ (F ↾ (ℕ ∖ {1}))) ↾ {1}) = (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1}) ∪ ((F ↾ (ℕ ∖ {1})) ↾ {1}))
10		incom 1636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ ∖ {1}) ∩ {1}) = ({1} ∩ (ℕ ∖ {1}))
11		difdisj 1758	. . . . . . . . 9 ⊢ ({1} ∩ (ℕ ∖ {1})) = ∅
12	10, 11	eqtr 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ∖ {1}) ∩ {1}) = ∅
13		resdisj 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ ∖ {1}) ∩ {1}) = ∅ → ((F ↾ (ℕ ∖ {1})) ↾ {1}) = ∅)
14	12, 13	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ ((F ↾ (ℕ ∖ {1})) ↾ {1}) = ∅
15	14	uneq2i 1608	. . . . . 6 ⊢ (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1}) ∪ ((F ↾ (ℕ ∖ {1})) ↾ {1})) = (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1}) ∪ ∅)
16		un0 1721	. . . . . 6 ⊢ (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1}) ∪ ∅) = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1})
17	15, 16	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1}) ∪ ((F ↾ (ℕ ∖ {1})) ↾ {1})) = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1})
18	8, 9, 17	3eqtr 1123	. . . 4 ⊢ (C ↾ {1}) = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1})
19	18	fveq1i 2833	. . 3 ⊢ ((C ↾ {1}) ‘1) = (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1}) ‘1)
20		fvres 2840	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {1} → (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1}) ‘1) = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ‘1))
21	3, 20	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ↾ {1}) ‘1) = ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ‘1)
22		opex 1893	. . . 4 ⊢ ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩ ∈ V
23	2, 22	fvsn 2879	. . 3 ⊢ ({⟨1, ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩⟩} ‘1) = ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩
24	19, 21, 23	3eqtr 1123	. 2 ⊢ ((C ↾ {1}) ‘1) = ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩
25	5, 24	eqtr3 1121	1 ⊢ (C ‘1) = ⟨((F ‘1) + 1), ((F ‘1) + 2)⟩

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∖ cdif 1484   ∪ cun 1485   ∩ cin 1486  ∅c0 1707  {csn 1808  ⟨cop 1810   ↾ cres 2412  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031  ℕcn 4093  2c2 4454

This theorem is referenced by:  ruclem13 4897  ruclem14 4898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-enr 3960  df-nr 3961  df-0r 3965  df-1r 3966  df-c 4034  df-1 4036  df-r 4038  df-n 4423

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