Theorem sbthbg 3360

Description: Schroeder-Bernstein Theorem and its converse.

Assertion

Ref	Expression
sbthbg	⊢ (B ∈ C → ((A ≼ B ∧ B ≼ A) ↔ A ≈ B))

Proof of Theorem sbthbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 3359	. . 3 ⊢ ((A ≼ B ∧ B ≼ A) → A ≈ B)
2	1	a1i 7	. 2 ⊢ (B ∈ C → ((A ≼ B ∧ B ≼ A) → A ≈ B))
3		endom 3289	. . . 4 ⊢ (A ≈ B → A ≼ B)
4	3	a1i 7	. . 3 ⊢ (B ∈ C → (A ≈ B → A ≼ B))
5		ensymg 3316	. . . 4 ⊢ (B ∈ C → (A ≈ B → B ≈ A))
6		endom 3289	. . . 4 ⊢ (B ≈ A → B ≼ A)
7	5, 6	syl6 23	. . 3 ⊢ (B ∈ C → (A ≈ B → B ≼ A))
8	4, 7	jcad 455	. 2 ⊢ (B ∈ C → (A ≈ B → (A ≼ B ∧ B ≼ A)))
9	2, 8	impbid 397	1 ⊢ (B ∈ C → ((A ≼ B ∧ B ≼ A) ↔ A ≈ B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272

This theorem is referenced by:  sbthcl 3361  dom0 3367  xpen 3383

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org