Theorem sbthcl 3361

Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form.

Assertion

Ref	Expression
sbthcl	⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Proof of Theorem sbthcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 3277	. 2 ⊢ Rel ≈
2		reldom 3278	. . 3 ⊢ Rel ≼
3		relin 2491	. . 3 ⊢ (Rel ≼ → Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ ))
4	2, 3	ax-mp 6	. 2 ⊢ Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )
5		visset 1350	. . . 4 ⊢ y ∈ V
6		sbthbg 3360	. . . 4 ⊢ (y ∈ V → ((x ≼ y ∧ y ≼ x) ↔ x ≈ y))
7	5, 6	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ((x ≼ y ∧ y ≼ x) ↔ x ≈ y)
8		df-br 2063	. . . . 5 ⊢ (x ≼ y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ≼ )
9		df-br 2063	. . . . . 6 ⊢ (y ≼ x ↔ ⟨y, x⟩ ∈ ≼ )
10		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
11	10, 5	opelcnv 2518	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ◡ ≼ ↔ ⟨y, x⟩ ∈ ≼ )
12	9, 11	bitr4 154	. . . . 5 ⊢ (y ≼ x ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ◡ ≼ )
13	8, 12	anbi12i 369	. . . 4 ⊢ ((x ≼ y ∧ y ≼ x) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ ≼ ∧ ⟨x, y⟩ ∈ ◡ ≼ ))
14		elin 1635	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ ≼ ∧ ⟨x, y⟩ ∈ ◡ ≼ ))
15	13, 14	bitr4 154	. . 3 ⊢ ((x ≼ y ∧ y ≼ x) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ))
16		df-br 2063	. . 3 ⊢ (x ≈ y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ≈ )
17	7, 15, 16	3bitr3r 157	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ≈ ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ))
18	1, 4, 17	cleqreli 2484	1 ⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∩ cin 1486  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  ^◡ccnv 2409  Rel wrel 2415   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272

This theorem is referenced by:  dfsdom2 3362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org