Theorem sdomen2 3380

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
sdomen2	⊢ ((B ∈ D ∧ A ≈ B) → (C ≺ A ↔ C ≺ B))

Proof of Theorem sdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomentr 3371	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ D → ((C ≺ A ∧ A ≈ B) → C ≺ B))
2	1	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ D → (C ≺ A → (A ≈ B → C ≺ B)))
3	2	com23 32	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ D → (A ≈ B → (C ≺ A → C ≺ B)))
4	3	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ D ∧ A ≈ B) → (C ≺ A → C ≺ B))
5	4	adantll 309	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ V ∧ B ∈ D) ∧ A ≈ B) → (C ≺ A → C ≺ B))
6		ensymg 3316	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ D → (A ≈ B → B ≈ A))
7		sdomentr 3371	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ V → ((C ≺ B ∧ B ≈ A) → C ≺ A))
8	7	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ V → (C ≺ B → (B ≈ A → C ≺ A)))
9	8	com23 32	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ V → (B ≈ A → (C ≺ B → C ≺ A)))
10	6, 9	syl9r 56	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → (B ∈ D → (A ≈ B → (C ≺ B → C ≺ A))))
11	10	imp31 280	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ V ∧ B ∈ D) ∧ A ≈ B) → (C ≺ B → C ≺ A))
12	5, 11	impbid 397	. . . 4 ⊢ (((A ∈ V ∧ B ∈ D) ∧ A ≈ B) → (C ≺ A ↔ C ≺ B))
13	12	exp31 293	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (B ∈ D → (A ≈ B → (C ≺ A ↔ C ≺ B))))
14	13	imp3a 279	. 2 ⊢ (A ∈ V → ((B ∈ D ∧ A ≈ B) → (C ≺ A ↔ C ≺ B)))
15		relen 3277	. . . . . 6 ⊢ Rel ≈
16	15	brrelexi 2447	. . . . 5 ⊢ (A ≈ B → A ∈ V)
17	16	con3i 90	. . . 4 ⊢ (¬ A ∈ V → ¬ A ≈ B)
18	17	pm2.21d 74	. . 3 ⊢ (¬ A ∈ V → (A ≈ B → (C ≺ A ↔ C ≺ B)))
19	18	adantld 307	. 2 ⊢ (¬ A ∈ V → ((B ∈ D ∧ A ≈ B) → (C ≺ A ↔ C ≺ B)))
20	14, 19	pm2.61i 110	1 ⊢ ((B ∈ D ∧ A ≈ B) → (C ≺ A ↔ C ≺ B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   ≈ cen 3271   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  finsucdom 3421  sucxpdom 3652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org