Theorem seq1lem 4668

Description: Lemma for seq1 4670.

Hypotheses

Ref	Expression
seqval.1	⊢ S ∈ V
seqval.2	⊢ F ∈ V
seqval.3	⊢ G = (rec({⟨z, w⟩∣w = (z + 1)}, 1) ↾ ω)
seqval.4	⊢ H = {⟨z, w⟩∣w = ⟨((1st ‘z) + 1), ((2nd ‘z)S(F ‘((1st ‘z) + 1)))⟩}

Assertion

Ref	Expression
seq1lem	⊢ ((SseqF) ‘1) = (F ‘1)

Distinct variable group(s):   z,w,F   z,S,w

Proof of Theorem seq1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 4432	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		seqval.1	. . . 4 ⊢ S ∈ V
3		seqval.2	. . . 4 ⊢ F ∈ V
4		seqval.3	. . . 4 ⊢ G = (rec({⟨z, w⟩∣w = (z + 1)}, 1) ↾ ω)
5		seqval.4	. . . 4 ⊢ H = {⟨z, w⟩∣w = ⟨((1st ‘z) + 1), ((2nd ‘z)S(F ‘((1st ‘z) + 1)))⟩}
6	2, 3, 4, 5	seqval2 4667	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((SseqF) ‘1) = (2nd ‘((rec(H, ⟨1, (F ‘1)⟩) ∘ ◡G) ‘1)))
7	1, 6	ax-mp 6	. 2 ⊢ ((SseqF) ‘1) = (2nd ‘((rec(H, ⟨1, (F ‘1)⟩) ∘ ◡G) ‘1))
8		opex 1893	. . . 4 ⊢ ⟨1, (F ‘1)⟩ ∈ V
9		1z 4584	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
10	9, 4	uzrdgini 4658	. . . 4 ⊢ (⟨1, (F ‘1)⟩ ∈ V → ((rec(H, ⟨1, (F ‘1)⟩) ∘ ◡G) ‘1) = ⟨1, (F ‘1)⟩)
11	8, 10	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ((rec(H, ⟨1, (F ‘1)⟩) ∘ ◡G) ‘1) = ⟨1, (F ‘1)⟩
12	11	fveq2i 2835	. 2 ⊢ (2nd ‘((rec(H, ⟨1, (F ‘1)⟩) ∘ ◡G) ‘1)) = (2nd ‘⟨1, (F ‘1)⟩)
13	1	elisseti 1355	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
14		fvex 2838	. . 3 ⊢ (F ‘1) ∈ V
15	13, 14	op2nd 3092	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨1, (F ‘1)⟩) = (F ‘1)
16	7, 12, 15	3eqtr 1123	1 ⊢ ((SseqF) ‘1) = (F ‘1)

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810  {copab 2055  ωcom 2372  ^◡ccnv 2409   ↾ cres 2412   ∘ ccom 2414   ‘cfv 2422  reccrdg 2969  (class class class)co 3001  1^st c1st 3085  2^nd c2nd 3086  1c1 4029   + caddc 4031  ℕcn 4093  seqcseq 4660

This theorem is referenced by:  seq1 4670

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661

metamath.org