Theorem seqlem2 4663

Description: Lemma for sequence builder theorems.

Assertion

Ref	Expression
seqlem2	⊢ (A ∈ ℕ → (A + 1) ∈ (ℕ ∖ {1}))

Proof of Theorem seqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nngt1ne1t 4440	. . . . . 6 ⊢ ((A + 1) ∈ ℕ → (1 < (A + 1) ↔ ¬ (A + 1) = 1))
2		1nn 4432	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	2	elisseti 1355	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
4	3	elsnc2 1832	. . . . . . 7 ⊢ ((A + 1) ∈ {1} ↔ (A + 1) = 1)
5	4	negbii 162	. . . . . 6 ⊢ (¬ (A + 1) ∈ {1} ↔ ¬ (A + 1) = 1)
6	1, 5	syl6bbr 416	. . . . 5 ⊢ ((A + 1) ∈ ℕ → (1 < (A + 1) ↔ ¬ (A + 1) ∈ {1}))
7	6	pm5.32i 489	. . . 4 ⊢ (((A + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < (A + 1)) ↔ ((A + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ (A + 1) ∈ {1}))
8		eldif 1496	. . . 4 ⊢ ((A + 1) ∈ (ℕ ∖ {1}) ↔ ((A + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ (A + 1) ∈ {1}))
9	7, 8	bitr4 154	. . 3 ⊢ (((A + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < (A + 1)) ↔ (A + 1) ∈ (ℕ ∖ {1}))
10	9	biimp 133	. 2 ⊢ (((A + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < (A + 1)) → (A + 1) ∈ (ℕ ∖ {1}))
11		peano2nn 4433	. 2 ⊢ (A ∈ ℕ → (A + 1) ∈ ℕ)
12		nngt0t 4441	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → 0 < A)
13		nnret 4427	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℕ → A ∈ ℝ)
14		ax0re 4063	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		ax1re 4064	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		ltadd1t 4348	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < A ↔ (0 + 1) < (A + 1)))
17	15, 16	mp3an3 641	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (0 < A ↔ (0 + 1) < (A + 1)))
18	14, 17	mpan 518	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → (0 < A ↔ (0 + 1) < (A + 1)))
19		1cn 4101	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	19	addid2 4113	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
21	20	breq1i 2068	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < (A + 1) ↔ 1 < (A + 1))
22	18, 21	syl6bb 414	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ → (0 < A ↔ 1 < (A + 1)))
23	13, 22	syl 12	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → (0 < A ↔ 1 < (A + 1)))
24	12, 23	mpbid 170	. 2 ⊢ (A ∈ ℕ → 1 < (A + 1))
25	10, 11, 24	sylanc 361	1 ⊢ (A ∈ ℕ → (A + 1) ∈ (ℕ ∖ {1}))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∖ cdif 1484  {csn 1808   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  seqrn 4673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423

metamath.org