Theorem seqrn 4673

Description: Range of the infinite sequence builder.

Hypotheses

Ref	Expression
seq1.1	⊢ S ∈ V
seq1.2	⊢ F ∈ V

Assertion

Ref	Expression
seqrn	⊢ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ran (SseqF) ⊆ C)

Proof of Theorem seqrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (y = 1 → ((SseqF) ‘y) = ((SseqF) ‘1))
2	1	eleq1d 1155	. . . . . 6 ⊢ (y = 1 → (((SseqF) ‘y) ∈ C ↔ ((SseqF) ‘1) ∈ C))
3	2	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (y = 1 → ((((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘y) ∈ C) ↔ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘1) ∈ C)))
4		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (y = z → ((SseqF) ‘y) = ((SseqF) ‘z))
5	4	eleq1d 1155	. . . . . 6 ⊢ (y = z → (((SseqF) ‘y) ∈ C ↔ ((SseqF) ‘z) ∈ C))
6	5	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (y = z → ((((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘y) ∈ C) ↔ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘z) ∈ C)))
7		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (y = (z + 1) → ((SseqF) ‘y) = ((SseqF) ‘(z + 1)))
8	7	eleq1d 1155	. . . . . 6 ⊢ (y = (z + 1) → (((SseqF) ‘y) ∈ C ↔ ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C))
9	8	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (y = (z + 1) → ((((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘y) ∈ C) ↔ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C)))
10		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (y = x → ((SseqF) ‘y) = ((SseqF) ‘x))
11	10	eleq1d 1155	. . . . . 6 ⊢ (y = x → (((SseqF) ‘y) ∈ C ↔ ((SseqF) ‘x) ∈ C))
12	11	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (y = x → ((((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘y) ∈ C) ↔ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘x) ∈ C)))
13		pm3.26 256	. . . . . . 7 ⊢ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D) → (F ‘1) ∈ C)
14		seq1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ S ∈ V
15		seq1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ F ∈ V
16	14, 15	seq1 4670	. . . . . . . 8 ⊢ ((SseqF) ‘1) = (F ‘1)
17	16	eleq1i 1152	. . . . . . 7 ⊢ (((SseqF) ‘1) ∈ C ↔ (F ‘1) ∈ C)
18	13, 17	sylibr 175	. . . . . 6 ⊢ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D) → ((SseqF) ‘1) ∈ C)
19	18	3adant3 599	. . . . 5 ⊢ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘1) ∈ C)
20		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ (z + 1) ∈ (ℕ ∖ {1})) → ((F ↾ (ℕ ∖ {1})) ‘(z + 1)) ∈ D)
21		fvres 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z + 1) ∈ (ℕ ∖ {1}) → ((F ↾ (ℕ ∖ {1})) ‘(z + 1)) = (F ‘(z + 1)))
22	21	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z + 1) ∈ (ℕ ∖ {1}) → (((F ↾ (ℕ ∖ {1})) ‘(z + 1)) ∈ D ↔ (F ‘(z + 1)) ∈ D))
23	22	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ (z + 1) ∈ (ℕ ∖ {1})) → (((F ↾ (ℕ ∖ {1})) ‘(z + 1)) ∈ D ↔ (F ‘(z + 1)) ∈ D))
24	20, 23	mpbid 170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ (z + 1) ∈ (ℕ ∖ {1})) → (F ‘(z + 1)) ∈ D)
25		seqlem2 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ ℕ → (z + 1) ∈ (ℕ ∖ {1}))
26	24, 25	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ z ∈ ℕ) → (F ‘(z + 1)) ∈ D)
27	14, 15	seqsuc 4671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z ∈ ℕ → ((SseqF) ‘(z + 1)) = (((SseqF) ‘z)S(F ‘(z + 1))))
28	27	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ ℕ → (((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C ↔ (((SseqF) ‘z)S(F ‘(z + 1))) ∈ C))
29		ffnoprval 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (S:(C × D)–→C ↔ (S Fn (C × D) ∧ ∀w ∈ C ∀v ∈ D (wSv) ∈ C))
30	29	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (S:(C × D)–→C → ∀w ∈ C ∀v ∈ D (wSv) ∈ C)
31		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (w = ((SseqF) ‘z) → (wSv) = (((SseqF) ‘z)Sv))
32	31	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (w = ((SseqF) ‘z) → ((wSv) ∈ C ↔ (((SseqF) ‘z)Sv) ∈ C))
33		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (v = (F ‘(z + 1)) → (((SseqF) ‘z)Sv) = (((SseqF) ‘z)S(F ‘(z + 1))))
34	33	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (v = (F ‘(z + 1)) → ((((SseqF) ‘z)Sv) ∈ C ↔ (((SseqF) ‘z)S(F ‘(z + 1))) ∈ C))
35	32, 34	rcla42v 1404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀w ∈ C ∀v ∈ D (wSv) ∈ C → ((((SseqF) ‘z) ∈ C ∧ (F ‘(z + 1)) ∈ D) → (((SseqF) ‘z)S(F ‘(z + 1))) ∈ C))
36	30, 35	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (S:(C × D)–→C → ((((SseqF) ‘z) ∈ C ∧ (F ‘(z + 1)) ∈ D) → (((SseqF) ‘z)S(F ‘(z + 1))) ∈ C))
37	36	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((S:(C × D)–→C ∧ (((SseqF) ‘z) ∈ C ∧ (F ‘(z + 1)) ∈ D)) → (((SseqF) ‘z)S(F ‘(z + 1))) ∈ C)
38	28, 37	syl5bir 184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ ℕ → ((S:(C × D)–→C ∧ (((SseqF) ‘z) ∈ C ∧ (F ‘(z + 1)) ∈ D)) → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C))
39	38	exp4d 298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ ℕ → (S:(C × D)–→C → (((SseqF) ‘z) ∈ C → ((F ‘(z + 1)) ∈ D → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C))))
40	39	com24 37	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ ℕ → ((F ‘(z + 1)) ∈ D → (((SseqF) ‘z) ∈ C → (S:(C × D)–→C → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C))))
41	40	adantl 305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ z ∈ ℕ) → ((F ‘(z + 1)) ∈ D → (((SseqF) ‘z) ∈ C → (S:(C × D)–→C → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C))))
42	26, 41	mpd 46	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ z ∈ ℕ) → (((SseqF) ‘z) ∈ C → (S:(C × D)–→C → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C)))
43	42	exp 291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D → (z ∈ ℕ → (((SseqF) ‘z) ∈ C → (S:(C × D)–→C → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C))))
44	43	com4r 41	. . . . . . . . . 10 ⊢ (S:(C × D)–→C → ((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D → (z ∈ ℕ → (((SseqF) ‘z) ∈ C → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C))))
45	44	com12 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D → (S:(C × D)–→C → (z ∈ ℕ → (((SseqF) ‘z) ∈ C → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C))))
46	45	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → (z ∈ ℕ → (((SseqF) ‘z) ∈ C → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C)))
47	46	3adant1 597	. . . . . . 7 ⊢ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → (z ∈ ℕ → (((SseqF) ‘z) ∈ C → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C)))
48	47	com12 13	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ℕ → (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → (((SseqF) ‘z) ∈ C → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C)))
49	48	a2d 15	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ℕ → ((((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘z) ∈ C) → (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘(z + 1)) ∈ C)))
50	3, 6, 9, 12, 19, 49	nnind 4434	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℕ → (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ((SseqF) ‘x) ∈ C))
51	50	com12 13	. . 3 ⊢ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → (x ∈ ℕ → ((SseqF) ‘x) ∈ C))
52	51	r19.21aiv 1259	. 2 ⊢ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ∀x ∈ ℕ ((SseqF) ‘x) ∈ C)
53	14, 15	seqfn 4672	. . 3 ⊢ (SseqF) Fn ℕ
54		fnfvrnss 2893	. . 3 ⊢ (((SseqF) Fn ℕ ∧ ∀x ∈ ℕ ((SseqF) ‘x) ∈ C) → ran (SseqF) ⊆ C)
55	53, 54	mpan 518	. 2 ⊢ (∀x ∈ ℕ ((SseqF) ‘x) ∈ C → ran (SseqF) ⊆ C)
56	52, 55	syl 12	1 ⊢ (((F ‘1) ∈ C ∧ (F ↾ (ℕ ∖ {1})):(ℕ ∖ {1})–→D ∧ S:(C × D)–→C) → ran (SseqF) ⊆ C)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  Vcvv 1348   ∖ cdif 1484   ⊆ wss 1487  {csn 1808   × cxp 2408  ran crn 2411   ↾ cres 2412   Fn wfn 2417  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  1c1 4029   + caddc 4031  ℕcn 4093  seqcseq 4660

This theorem is referenced by:  seqrn2 4674  ruclem13 4897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661

metamath.org