Theorem setind 3492

Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21.

Assertion

Ref	Expression
setind	⊢ (∀x(x ⊆ A → x ∈ A) → A = V)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem setind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 1521	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = y → (x ⊆ A ↔ y ⊆ A))
2		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = y → (x ∈ A ↔ y ∈ A))
3	1, 2	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → ((x ⊆ A → x ∈ A) ↔ (y ⊆ A → y ∈ A)))
4	3	a4b1 928	. . . . . . 7 ⊢ (∀x(x ⊆ A → x ∈ A) → (y ⊆ A → y ∈ A))
5		ssindif0 1741	. . . . . . 7 ⊢ (y ⊆ A ↔ (y ∩ (V ∖ A)) = ∅)
6	4, 5	syl5ibr 182	. . . . . 6 ⊢ (∀x(x ⊆ A → x ∈ A) → ((y ∩ (V ∖ A)) = ∅ → y ∈ A))
7		eldifn 1592	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ (V ∖ A) → ¬ y ∈ A)
8	6, 7	nsyli 106	. . . . 5 ⊢ (∀x(x ⊆ A → x ∈ A) → (y ∈ (V ∖ A) → ¬ (y ∩ (V ∖ A)) = ∅))
9	8	imp 277	. . . 4 ⊢ ((∀x(x ⊆ A → x ∈ A) ∧ y ∈ (V ∖ A)) → ¬ (y ∩ (V ∖ A)) = ∅)
10	9	nrexdv 1271	. . 3 ⊢ (∀x(x ⊆ A → x ∈ A) → ¬ ∃y ∈ (V ∖ A)(y ∩ (V ∖ A)) = ∅)
11		zfregs 3491	. . 3 ⊢ (¬ (V ∖ A) = ∅ → ∃y ∈ (V ∖ A)(y ∩ (V ∖ A)) = ∅)
12	10, 11	nsyl2 103	. 2 ⊢ (∀x(x ⊆ A → x ∈ A) → (V ∖ A) = ∅)
13		vdif0 1749	. 2 ⊢ (A = V ↔ (V ∖ A) = ∅)
14	12, 13	sylibr 175	1 ⊢ (∀x(x ⊆ A → x ∈ A) → A = V)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2  ∀wal 672   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ∖ cdif 1484   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707

This theorem is referenced by:  setind2 3493  tz9.13 3507

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

metamath.org