Theorem shaddclt 5123

Description: Closure of vector addition in a subspace of a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
shaddclt	⊢ (H ∈ Sℋ → ((A ∈ H ∧ B ∈ H) → (A +v B) ∈ H))

Proof of Theorem shaddclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sh 5116	. . 3 ⊢ (H ∈ Sℋ ↔ ((H ⊆ ℋ ∧ 0v ∈ H) ∧ (∀x ∈ H ∀y ∈ H (x +v y) ∈ H ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ H (x ·s y) ∈ H)))
2	1	pm3.27bd 263	. 2 ⊢ (H ∈ Sℋ → (∀x ∈ H ∀y ∈ H (x +v y) ∈ H ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ H (x ·s y) ∈ H))
3		pm3.26 256	. 2 ⊢ ((∀x ∈ H ∀y ∈ H (x +v y) ∈ H ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ H (x ·s y) ∈ H) → ∀x ∈ H ∀y ∈ H (x +v y) ∈ H)
4		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (x = A → (x +v y) = (A +v y))
5	4	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (x = A → ((x +v y) ∈ H ↔ (A +v y) ∈ H))
6		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (y = B → (A +v y) = (A +v B))
7	6	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (y = B → ((A +v y) ∈ H ↔ (A +v B) ∈ H))
8	5, 7	rcla42v 1404	. 2 ⊢ (∀x ∈ H ∀y ∈ H (x +v y) ∈ H → ((A ∈ H ∧ B ∈ H) → (A +v B) ∈ H))
9	2, 3, 8	3syl 21	1 ⊢ (H ∈ Sℋ → ((A ∈ H ∧ B ∈ H) → (A +v B) ∈ H))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487  (class class class)co 3001  ℂcc 4026   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   S_ℋ csh 4967

This theorem is referenced by:  shsubclt 5125  projlem18 5210  pjthlem12 5236  shscl 5282  shintcl 5294  shslej 5339  shsidm 5358  spanun 5450  spanunsn 5482  pjadd 5566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003  df-sh 5114

metamath.org