Theorem shjcomt 5331

Description: Commutative law for Hilbert lattice join of subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shjcomt	⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (A ∨ℋ B) = (B ∨ℋ A))

Proof of Theorem shjcomt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shjvalt 5322	. 2 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (A ∨ℋ B) = (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ B))))
2		shjvalt 5322	. . . 4 ⊢ ((B ∈ Sℋ ∧ A ∈ Sℋ ) → (B ∨ℋ A) = (⊥ ‘(⊥ ‘(B ∪ A))))
3	2	ancoms 334	. . 3 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (B ∨ℋ A) = (⊥ ‘(⊥ ‘(B ∪ A))))
4		uncom 1604	. . . . 5 ⊢ (B ∪ A) = (A ∪ B)
5	4	fveq2i 2835	. . . 4 ⊢ (⊥ ‘(B ∪ A)) = (⊥ ‘(A ∪ B))
6	5	fveq2i 2835	. . 3 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘(B ∪ A))) = (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ B)))
7	3, 6	syl6eq 1140	. 2 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (B ∨ℋ A) = (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ B))))
8	1, 7	eqtr4d 1131	1 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (A ∨ℋ B) = (B ∨ℋ A))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∪ cun 1485   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   S_ℋ csh 4967  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972

This theorem is referenced by:  shjcom 5341  shub2t 5354  shlej2t 5357  chjcomt 5423

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-chj 5277

metamath.org