Theorem shlesb1 5360

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ A ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ B ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shlesb1	⊢ (A ⊆ B ↔ (A +ℋ B) = B)

Proof of Theorem shlesb1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 1519	. . 3 ⊢ B ⊆ B
2	1	biantrur 544	. 2 ⊢ (A ⊆ B ↔ (B ⊆ B ∧ A ⊆ B))
3		shlesb1.2	. . 3 ⊢ B ∈ Sℋ
4		shlesb1.1	. . 3 ⊢ A ∈ Sℋ
5	3, 4, 3	shslub 5359	. 2 ⊢ ((B ⊆ B ∧ A ⊆ B) ↔ (B +ℋ A) ⊆ B)
6		eqss 1516	. . . 4 ⊢ ((A +ℋ B) = B ↔ ((A +ℋ B) ⊆ B ∧ B ⊆ (A +ℋ B)))
7	3, 4	shsub1 5342	. . . . 5 ⊢ B ⊆ (B +ℋ A)
8	4, 3	shscom 5333	. . . . 5 ⊢ (A +ℋ B) = (B +ℋ A)
9	7, 8	sseqtr4 1533	. . . 4 ⊢ B ⊆ (A +ℋ B)
10	6, 9	mpbiranr 548	. . 3 ⊢ ((A +ℋ B) = B ↔ (A +ℋ B) ⊆ B)
11	8	sseq1i 1524	. . 3 ⊢ ((A +ℋ B) ⊆ B ↔ (B +ℋ A) ⊆ B)
12	10, 11	bitr2 152	. 2 ⊢ ((B +ℋ A) ⊆ B ↔ (A +ℋ B) = B)
13	2, 5, 12	3bitr 155	1 ⊢ (A ⊆ B ↔ (A +ℋ B) = B)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  (class class class)co 3001   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  shmods 5363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvaddid 4988

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org