Theorem shless 5348

Description: Subset implies subset of subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ A ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ B ∈ Sℋ
shless.1	⊢ C ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shless	⊢ (A ⊆ B → (A +ℋ C) ⊆ (B +ℋ C))

Proof of Theorem shless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ B → (y ∈ A → y ∈ B))
2	1	anim1d 432	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ B → ((y ∈ A ∧ ∃z ∈ C x = (y +v z)) → (y ∈ B ∧ ∃z ∈ C x = (y +v z))))
3	2	19.22dv 947	. . . 4 ⊢ (A ⊆ B → (∃y(y ∈ A ∧ ∃z ∈ C x = (y +v z)) → ∃y(y ∈ B ∧ ∃z ∈ C x = (y +v z))))
4		df-rex 1206	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ A ∃z ∈ C x = (y +v z) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ ∃z ∈ C x = (y +v z)))
5		df-rex 1206	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ B ∃z ∈ C x = (y +v z) ↔ ∃y(y ∈ B ∧ ∃z ∈ C x = (y +v z)))
6	3, 4, 5	3imtr4g 426	. . 3 ⊢ (A ⊆ B → (∃y ∈ A ∃z ∈ C x = (y +v z) → ∃y ∈ B ∃z ∈ C x = (y +v z)))
7		shincl.1	. . . 4 ⊢ A ∈ Sℋ
8		shless.1	. . . 4 ⊢ C ∈ Sℋ
9	7, 8	shsel 5281	. . 3 ⊢ (x ∈ (A +ℋ C) ↔ ∃y ∈ A ∃z ∈ C x = (y +v z))
10		shincl.2	. . . 4 ⊢ B ∈ Sℋ
11	10, 8	shsel 5281	. . 3 ⊢ (x ∈ (B +ℋ C) ↔ ∃y ∈ B ∃z ∈ C x = (y +v z))
12	6, 9, 11	3imtr4g 426	. 2 ⊢ (A ⊆ B → (x ∈ (A +ℋ C) → x ∈ (B +ℋ C)))
13	12	ssrdv 1509	1 ⊢ (A ⊆ B → (A +ℋ C) ⊆ (B +ℋ C))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  (class class class)co 3001   +_v cva 4959   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  shslub 5359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org