Theorem shsclt 5283

Description: Closure of subspace sum.

Assertion

Ref	Expression
shsclt	⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (A +ℋ B) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shsclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) → (A +ℋ B) = (if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) +ℋ B))
2	1	eleq1d 1155	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) → ((A +ℋ B) ∈ Sℋ ↔ (if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) +ℋ B) ∈ Sℋ ))
3		opreq2 3007	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ Sℋ , B, ℋ ) → (if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) +ℋ B) = (if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) +ℋ if(B ∈ Sℋ , B, ℋ )))
4	3	eleq1d 1155	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ Sℋ , B, ℋ ) → ((if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) +ℋ B) ∈ Sℋ ↔ (if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) +ℋ if(B ∈ Sℋ , B, ℋ )) ∈ Sℋ ))
5		helsh 5152	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
6	5	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) ∈ Sℋ
7	5	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(B ∈ Sℋ , B, ℋ ) ∈ Sℋ
8	6, 7	shscl 5282	. 2 ⊢ (if(A ∈ Sℋ , A, ℋ ) +ℋ if(B ∈ Sℋ , B, ℋ )) ∈ Sℋ
9	2, 4, 8	dedth2h 1787	1 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (A +ℋ B) ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ifcif 1776  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  shsvst 5288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvdistr1 4993

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-shsum 5275

metamath.org