Theorem shscomt 5284

Description: Commutative law for subspace sum.

Assertion

Ref	Expression
shscomt	⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (A +ℋ B) = (B +ℋ A))

Proof of Theorem shscomt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shelt 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ y ∈ A) → y ∈ ℋ )
2		shelt 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ Sℋ ∧ z ∈ B) → z ∈ ℋ )
3	1, 2	anim12i 268	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Sℋ ∧ y ∈ A) ∧ (B ∈ Sℋ ∧ z ∈ B)) → (y ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ))
4	3	an4s 390	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) → (y ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ))
5		ax-hvcom 4985	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (y +v z) = (z +v y))
6	4, 5	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) → (y +v z) = (z +v y))
7	6	cleq2d 1112	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) → (x = (y +v z) ↔ x = (z +v y)))
8	7	bi2rexdva 1234	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (y +v z) ↔ ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (z +v y)))
9		rexcom 1313	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (z +v y) ↔ ∃z ∈ B ∃y ∈ A x = (z +v y))
10	8, 9	syl6bb 414	. . 3 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (y +v z) ↔ ∃z ∈ B ∃y ∈ A x = (z +v y)))
11		shselt 5280	. . 3 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (x ∈ (A +ℋ B) ↔ ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (y +v z)))
12		shselt 5280	. . . 4 ⊢ ((B ∈ Sℋ ∧ A ∈ Sℋ ) → (x ∈ (B +ℋ A) ↔ ∃z ∈ B ∃y ∈ A x = (z +v y)))
13	12	ancoms 334	. . 3 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (x ∈ (B +ℋ A) ↔ ∃z ∈ B ∃y ∈ A x = (z +v y)))
14	10, 11, 13	3bitr4d 424	. 2 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (x ∈ (A +ℋ B) ↔ x ∈ (B +ℋ A)))
15	14	cleqrd 1100	1 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (A +ℋ B) = (B +ℋ A))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  shsel2t 5287  shsub2t 5290  shscom 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org