Theorem shsel1t 5286

Description: A subspace sum contains a member of one of its subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shsel1t	⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (C ∈ A → C ∈ (A +ℋ B)))

Proof of Theorem shsel1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shelt 5118	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ C ∈ A) → C ∈ ℋ )
2		ax-hvaddid 4988	. . . . 5 ⊢ (C ∈ ℋ → (C +v 0v) = C)
3	1, 2	syl 12	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ C ∈ A) → (C +v 0v) = C)
4	3	adantlr 310	. . 3 ⊢ (((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) ∧ C ∈ A) → (C +v 0v) = C)
5		sh0 5122	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Sℋ → 0v ∈ B)
6	5	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → 0v ∈ B)
7		shsvat 5285	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → ((C ∈ A ∧ 0v ∈ B) → (C +v 0v) ∈ (A +ℋ B)))
8	6, 7	mpan2d 525	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (C ∈ A → (C +v 0v) ∈ (A +ℋ B)))
9	8	imp 277	. . 3 ⊢ (((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) ∧ C ∈ A) → (C +v 0v) ∈ (A +ℋ B))
10	4, 9	eqeltrrd 1164	. 2 ⊢ (((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) ∧ C ∈ A) → C ∈ (A +ℋ B))
11	10	exp 291	1 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (C ∈ A → C ∈ (A +ℋ B)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  shsel2t 5287  shsvst 5288  shsub1t 5289  shsel1 5335

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvaddid 4988

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org