Theorem shselt 5280

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shselt	⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (C ∈ (A +ℋ B) ↔ ∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y)))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shselt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsumvalt 5279	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (A +ℋ B) = {z ∈ ℋ ∣∃x ∈ A ∃y ∈ B z = (x +v y)})
2	1	eleq2d 1156	. . 3 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (C ∈ (A +ℋ B) ↔ C ∈ {z ∈ ℋ ∣∃x ∈ A ∃y ∈ B z = (x +v y)}))
3		cleq1 1107	. . . . . 6 ⊢ (z = C → (z = (x +v y) ↔ C = (x +v y)))
4	3	birexdv 1220	. . . . 5 ⊢ (z = C → (∃y ∈ B z = (x +v y) ↔ ∃y ∈ B C = (x +v y)))
5	4	birexdv 1220	. . . 4 ⊢ (z = C → (∃x ∈ A ∃y ∈ B z = (x +v y) ↔ ∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y)))
6	5	elrab 1422	. . 3 ⊢ (C ∈ {z ∈ ℋ ∣∃x ∈ A ∃y ∈ B z = (x +v y)} ↔ (C ∈ ℋ ∧ ∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y)))
7	2, 6	syl6bb 414	. 2 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (C ∈ (A +ℋ B) ↔ (C ∈ ℋ ∧ ∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y))))
8		shss 5117	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ Sℋ → A ⊆ ℋ )
9	8	sseld 1506	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ Sℋ → (x ∈ A → x ∈ ℋ ))
10		shss 5117	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ Sℋ → B ⊆ ℋ )
11	10	sseld 1506	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Sℋ → (y ∈ B → y ∈ ℋ ))
12	9, 11	im2anan9 434	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )))
13		ax-hvaddcl 4984	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → (x +v y) ∈ ℋ )
14		eleq1a 1158	. . . . . 6 ⊢ ((x +v y) ∈ ℋ → (C = (x +v y) → C ∈ ℋ ))
15	13, 14	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → (C = (x +v y) → C ∈ ℋ ))
16	12, 15	syl6 23	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → (C = (x +v y) → C ∈ ℋ )))
17	16	r19.23advv 1288	. . 3 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y) → C ∈ ℋ ))
18		pm4.71r 482	. . 3 ⊢ ((∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y) → C ∈ ℋ ) ↔ (∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y) ↔ (C ∈ ℋ ∧ ∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y))))
19	17, 18	sylib 173	. 2 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y) ↔ (C ∈ ℋ ∧ ∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y))))
20	7, 19	bitr4d 409	1 ⊢ ((A ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (C ∈ (A +ℋ B) ↔ ∃x ∈ A ∃y ∈ B C = (x +v y)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  {crab 1204  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  shsel 5281  shscomt 5284  shsvat 5285  sumdmdi 5785  sumdmdlem 5786

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org